Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x\sin x}}{{1 - \tan x}}\);
b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} - x + 1} \);
c) \(y = {\sin ^2}3x\);
d) \(y = {\cos ^2}\left( {\cos 3x} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại x là \(u_x'\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại u là \(y_u'\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại x là \(y_x' = y_u'.u_x'\).
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính:
a) \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\), \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\), \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\), \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
b) \(\left( {\cos u\left( x \right)} \right)' = - \left( {u\left( x \right)} \right)'\sin u\left( x \right)\), \(\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}\)
c) \(\left( {\sin u\left( x \right)} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'\cos u\left( x \right)\),\(\left( {\cos u\left( x \right)} \right)' = - \left( {u\left( x \right)} \right)'\sin u\left( x \right)\)
d) \(\left( {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right)' = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]'\), \(\left( {\sin u\left( x \right)} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'\cos u\left( x \right),\) \(\left( {\cos u\left( x \right)} \right)' = - \left( {u\left( x \right)} \right)'\sin u\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' \) \(= {\left( {\frac{{x\sin x}}{{1 - \tan x}}} \right)'} \) \(= \frac{{\left( {x\sin x} \right)'\left( {1 - \tan x} \right) - \left( {x\sin x} \right)\left( {1 - \tan x} \right)'}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{\left( {\sin x + x\cos x} \right)\left( {1 - \tan x} \right) + \left( {x\sin x} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x - x\sin x + \frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}\) \(= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x - x\sin x\left( {1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x + x\sin x{{\tan }^2}x}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}\)
b) \(y' \) \(= {\left( {\cos \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)'} \) \(= - \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)'\sin \sqrt {{x^2} - x + 1} \) \(= - \frac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\sin \sqrt {{x^2} - x + 1} \)
\(= - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\sin \sqrt {{x^2} - x + 1} \)
c) \(y' \) \(= {\left( {{{\sin }^2}3x} \right)'} \) \(= 2\sin 3x\left( {\sin 3x} \right)' \) \(= 6\sin 3x\cos 3x \) \(= 3\sin 6x\)
d) \(y' \) \(= {\left[ {{{\cos }^2}\left( {\cos 3x} \right)} \right]'} \) \(= 2\cos \left( {\cos 3x} \right)\left[ {\cos \left( {\cos 3x} \right)} \right]'\)\(= - 2\cos \left( {\cos 3x} \right)\sin \left( {\cos 3x} \right)\left( {\cos 3x} \right)' \) \(= 6\cos \left( {\cos 3x} \right)\sin \left( {\cos 3x} \right)\sin 3x\)
\(= 3\sin \left( {2\cos 3x} \right)\sin 3x\)
Bài 5 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng tính toán là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách chính xác.
Bài 5 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng phần của bài 5 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2.
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 2, ta thực hiện các bước sau:
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm, ta có:
f'(x) = 3x^2 - 4x + 5
Thay x = 2 vào f'(x), ta được:
f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 2 là 9.
Để tìm đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)/(x - 1), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:
(u/v)' = (u'v - uv')/v^2
Trong đó, u = x^2 + 1 và v = x - 1.
Ta có:
u' = 2x
v' = 1
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta được:
y' = (2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1))/(x - 1)^2 = (2x^2 - 2x - x^2 - 1)/(x - 1)^2 = (x^2 - 2x - 1)/(x - 1)^2
Vậy, đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)/(x - 1) là y' = (x^2 - 2x - 1)/(x - 1)^2.
Để giải các bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, bạn nên:
Bài 5 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập mà chúng tôi đã cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều kiến thức thú vị khác về Toán học tại giaibaitoan.com!
