Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {4x + 1} \) tại \(x = 2\);
b) \(f\left( x \right) = {x^4}\) tại \(x = - 1\);
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\);
d) \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để tính: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết
a) Với bất kì \({x_0} \ge \frac{{ - 1}}{4}\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt {4x + 1} - \sqrt {4{x_0} + 1} }}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 1} - \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4x + 1 - 4{x_0} - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{4}{{\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \frac{4}{{2\sqrt {4{x_0} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {4{x_0} + 1} }}\)
Suy ra: \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }}\). Do đó, \(f'\left( 2 \right) = \frac{2}{{\sqrt {4.2 + 1} }} = \frac{2}{3}\)
b) Với bất kì \({x_0}\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^4} - x_0^4}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x + {x_0}} \right) = \left( {x_0^2 + x_0^2} \right)\left( {{x_0} + {x_0}} \right) = 2x_0^2.2{x_0} = 4x_0^3\)
Do đó, \(f'\left( x \right) = 4{x^3}\). Suy ra \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} = - 4\)
c) Với bất kì \({x_0} \ne - 1\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{{x_0} + 1}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x_0} + 1 - x - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}\)
\( = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
d) Với bất kì \({x_0}\) ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + 1 - x_0^2 - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x + {x_0}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}} = \frac{{2{x_0}}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}\)
Bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, tính chất của hàm số, và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công trong việc giải bài tập này.
Bài 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài 1 yêu cầu vẽ đồ thị hàm số y = sin(2x). Chúng ta có thể thực hiện như sau:
Để giải bài tập hàm số lượng giác một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các mẹo sau:
Bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Bằng cách nắm vững kiến thức nền tảng, luyện tập thường xuyên, và áp dụng các mẹo giải bài tập, bạn có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
| Hàm số | Chu kỳ | Tập giá trị |
|---|---|---|
| y = sin(x) | 2π | [-1, 1] |
| y = cos(x) | 2π | [-1, 1] |
| y = tan(x) | π | R |
