Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 2 trang 34 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán hiệu quả.
Giaibaitoan.com là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải, lý thuyết và bài tập Toán 11.
Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó. a) \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\); b) \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\).
Đề bài
Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.
a) \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\);
b) \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính chẵn lẻ của hàm số để chứng minh: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là:
+ Hàm số chẵn nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\).
+ Hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).
- Sử dụng kiến thức về hàm số tuần hoàn để chứng minh: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số \(T \ne 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( T \right)\). Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \(y = f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{3\pi }}{2} + k3\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)
Vì \(x \pm 6\pi \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(3\sin \left( {x + 6\pi } \right) + 2\tan \frac{{x + 6\pi }}{3} = 3\sin x + 2\tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right) = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\)
Do đó, hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số tuần hoàn.
Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(3\sin \left( { - x} \right) + 2\tan \frac{{ - x}}{3} = - 3\sin x - 2\tan \frac{x}{3} = - \left( {3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}} \right)\)
Suy ra hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là: \(D = \mathbb{R}\)
Vì \(x \pm 4\pi \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(\cos \left( {x + 4\pi } \right)\sin \frac{{\pi - \left( {x + 4\pi } \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\frac{{\pi - x}}{2} - 2\pi } \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\)
Do đó, hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là hàm số tuần hoàn.
Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(y = \cos \left( { - x} \right)\sin \frac{{\pi - \left( { - x} \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\pi - \frac{{\pi - x}}{2}} \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\)
Suy ra hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là hàm số chẵn.
Bài 2 trang 34 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết các yếu tố khác nhau.
Bài 2 bao gồm các dạng bài tập sau:
Đỉnh của parabol là I(-1; 2) và parabol đi qua điểm A(1; 0). Phương trình tổng quát của parabol có dạng y = a(x - h)^2 + k, với I(h; k) là đỉnh của parabol. Thay h = -1 và k = 2, ta được y = a(x + 1)^2 + 2. Vì parabol đi qua điểm A(1; 0), ta thay x = 1 và y = 0 vào phương trình để tìm a: 0 = a(1 + 1)^2 + 2 => 0 = 4a + 2 => a = -1/2. Vậy phương trình parabol là y = -1/2(x + 1)^2 + 2.
Parabol đi qua ba điểm A(0; -1), B(1; 0) và C(-1; 0). Thay tọa độ các điểm vào phương trình y = ax^2 + bx + c, ta được hệ phương trình:
Thay c = -1 vào hai phương trình còn lại, ta được:
Cộng hai phương trình trên, ta được 2a = 2 => a = 1. Thay a = 1 vào a + b = 1, ta được 1 + b = 1 => b = 0. Vậy phương trình parabol là y = x^2 - 1.
Kiến thức về parabol có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 hoặc trên các trang web học toán online.
Bài 2 trang 34 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về parabol và ứng dụng của nó. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.
