Bài 5 trang 62 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.
b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Lời giải chi tiết
a) Vì mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vì ABCD là hình vuông nên \(AD \bot DC\).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot DC\)
Do đó, \(DC \bot \left( {SAD} \right)\). Lại có: \(DC \subset \left( {SDC} \right) \) \( \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\)
Vẽ \(AM \bot SD\) tại M. Do đó, \(AM \bot \left( {SCD} \right)\). Suy ra, \(\left( {BAM} \right) \bot \left( {SCD} \right)\) hay (ABM) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
Trong mặt phẳng (SCD), kẻ MN//CD\(\left( {N \in SC} \right)\). Suy ra, MN//AB nên \(MN \subset \left( \alpha \right)\)
Khi đó, giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với:
Mặt phẳng (ABCD) là AB.
Mặt phẳng (ABS) là AB.
Mặt phẳng (SBC) là NB.
Mặt phẳng (SCD) là MN.
Mặt phẳng (ASD) là AM.
b) Ta có: MN//AB, \(AB \bot AM\left( {do\;AB \bot \left( {SAD} \right)} \right)\) nên tứ giác ABNM là hình thang vuông tại A và M.
Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên
\(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \) \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì MN//CD nên \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SM}}{{SD}} \) \( \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{\frac{{S{A^2}}}{{SD}}}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{3}{4}\)
Do đó, \(MN = \frac{3}{4}CD = \frac{3}{4}a\)
Vậy diện tích hình thang ABNM là: \(S = \frac{1}{2}AM\left( {MN + AB} \right) \) \(= \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\left( {\frac{3}{4}a + a} \right) = \frac{{7{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)
Bài 5 trang 62 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm hợp và áp dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc, hoặc các bài toán tối ưu hóa.
Bài tập 5 thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:
Để giải bài tập 5 trang 62 hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1).
Giải:
Sử dụng quy tắc hàm hợp, ta có:
y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1)
Ngoài bài 5 trang 62, học sinh có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 để củng cố kiến thức và kỹ năng.
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:
Bài 5 trang 62 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Bằng cách nắm vững các kiến thức và phương pháp giải bài tập, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
