Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 5 trang 14 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\); b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\);
b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);
c) \(\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha }} = \frac{{1 - {{\cot }^4}\alpha }}{{1 - \cot \alpha }}\);
d) \(\frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha - 1}}{{{{\cot }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha - 1}} = {\tan ^6}\alpha \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc:
a) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
b) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
c) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha ,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
d) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \), \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\), \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\), \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha ,\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
Lời giải chi tiết
a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
\( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);
c) \(\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha + \cot \alpha \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\)
\( = \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\left( {1 + \cot \alpha } \right) = \frac{{\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\left( {1 + \cot \alpha } \right)\left( {1 - \cot \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cot \alpha } \right)}}\)\( = \frac{{1 - {{\cot }^4}\alpha }}{{1 - \cot \alpha }}\)
d) \(\frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha - 1}}{{{{\cot }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha - 1}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cot }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {{\sin }^2}\alpha }}{{\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - {{\cos }^2}\alpha }}\)
\( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 1} \right)}} = {\tan ^2}\alpha .\frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{{{\cot }^2}\alpha }} = {\tan ^6}\alpha \)
Bài 5 trang 14 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết các yếu tố khác nhau.
Bài 5 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết dạng bài này, ta sử dụng công thức tổng quát của parabol với đỉnh I(a, b):
y = a(x - a)^2 + b
Với a là hệ số khác 0. Sau khi xác định được a, ta có thể viết được phương trình parabol hoàn chỉnh.
Ví dụ: Xác định phương trình parabol có đỉnh I(1, 2) và đi qua điểm A(3, 6).
Giải:
Để giải quyết dạng bài này, ta thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát của parabol y = ax^2 + bx + c và giải hệ phương trình ba ẩn a, b, c để tìm ra các hệ số.
Ví dụ: Xác định phương trình parabol đi qua ba điểm A(0, 1), B(1, 2), C(2, 5).
Giải:
Trục đối xứng của parabol có phương trình x = a. Phương trình parabol có dạng y = a(x - a)^2 + b. Thay tọa độ điểm thuộc parabol vào phương trình để tìm b.
Các bài tập kết hợp đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học ở các dạng bài trên. Cần phân tích kỹ đề bài để xác định phương pháp giải phù hợp.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể tự tin giải bài 5 trang 14 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Chúc bạn học tập tốt!
