Chương 2. Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo

I. Dãy số

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập hợp con của nó. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng của dãy. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

Định nghĩa: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số nếu với mỗi số tự nhiên n, ta xác định được một số thực u_n.

Các loại dãy số:

• Dãy số tăng: u_n+1 > u_n với mọi n.
• Dãy số giảm: u_n+1 < u_n với mọi n.
• Dãy số không đổi: u_n+1 = u_n với mọi n.

II. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai bằng số hạng đứng trước cộng với một số không đổi, gọi là công sai.

Định nghĩa: Dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu u_n+1 = u_n + d với mọi n, trong đó d là công sai.

Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n-1)d

Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

III. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi, gọi là công bội.

Định nghĩa: Dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu u_n+1 = u_n * q với mọi n, trong đó q là công bội.

Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^(n-1)

Tổng n số hạng đầu tiên:

• Nếu q = 1: S_n = n * u₁
• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tìm u₅ và S₅.

Giải:

u₅ = u₁ + (5-1)d = 2 + 4*3 = 14

S₅ = 5/2 * (u₁ + u₅) = 5/2 * (2 + 14) = 40

Bài 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2. Tìm u₆ và S₆.

Giải:

u₆ = u₁ * q^(6-1) = 1 * 2⁵ = 32

S₆ = u₁ * (1 - q⁶) / (1 - q) = 1 * (1 - 2⁶) / (1 - 2) = 63

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về chương này, bạn có thể làm thêm các bài tập trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Hãy nhớ áp dụng các công thức và định nghĩa đã học để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

Chúc bạn học tốt!