Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 3 trang 34 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán hiệu quả.
Giaibaitoan.com là địa chỉ tin cậy dành cho học sinh, sinh viên và những ai yêu thích môn Toán, cần tìm kiếm sự hỗ trợ trong quá trình học tập.
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\); b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)\).
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\);
b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Sử dụng kiến thức công thức tổng thành tích để chứng minh: \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2};\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\)
+ Sử dụng kiến thức về công thức góc nhân đôi để chứng minh: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \)
b) Sử dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng để chứng minh \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\)
Sử dụng kiến thức về công thức cộng để chứng minh \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
Lời giải chi tiết
a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) \) \( = \left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\)
\( = 2\sin \frac{\pi }{8}\cos x.2\sin x\cos \frac{\pi }{8} \) \( = 2\sin \frac{\pi }{4}\cos x\sin x \) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\)
b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) \) \( = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) - {\cos ^2}\left( {x - y} \right) \) \( = {\cos ^2}x - {\sin ^2}y\)
Ta có: \(2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) - {\cos ^2}\left( {x - y} \right) \) \( = \cos \left( {x - y} \right)\left[ {2\cos x\cos y - \cos \left( {x - y} \right)} \right]\)
\( = \cos \left( {x - y} \right)\left( {\cos x\cos y - \sin x\sin y} \right) \) \( = \cos \left( {x - y} \right)\cos \left( {x + y} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2y} \right) \) \( = \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}y + 2{{\cos }^2}x - 1} \right) \) \( = {\cos ^2}x - {\sin ^2}y\)
Vậy \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) \) \( = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)\)
Bài 3 trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song, đồng phẳng của vectơ và các ứng dụng của chúng trong hình học không gian. Việc nắm vững các định lý, tính chất và phương pháp chứng minh là yếu tố then chốt để giải quyết thành công bài toán này.
Bài 3 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 3 trang 34, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết cho từng câu hỏi:
Đề bài: (Giả định đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải:
Đề bài: (Giả định đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải:
Để giải quyết hiệu quả các bài tập về vectơ trong không gian, các bạn cần lưu ý những điều sau:
Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của vectơ trong không gian, chúng ta hãy xem xét một ví dụ sau:
Ví dụ: (Giả định một ví dụ cụ thể ở đây)
Lời giải:
Bài 3 trang 34 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a, b, c | [a, b].c = 0 |
| Tích vô hướng của hai vectơ a, b | a.b = |a||b|cos(θ) |
| Tích có hướng của hai vectơ a, b | [a, b] = |a||b|sin(θ)n |
