Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 1 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) (y = frac{{ - 3{x^2}}}{2} + frac{2}{x} + frac{{{x^3}}}{3});
Đề bài
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{ - 3{x^2}}}{2} + \frac{2}{x} + \frac{{{x^3}}}{3}\);
b) \(y = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^2} + x + 1}};\)
d) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\);
e) \(y = x.{e^{2x + 1}}\);
g) \(y = \left( {2x + 3} \right){.3^{2x + 1}}\);
h) \(y = x{\ln ^2}x\);
i) \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: a) \(\left( {u + v + {\rm{w}}} \right)' = u' + v' + {\rm{w}}',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)\)b) \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.c, d) \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\) , \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)\)e) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}\)g) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {{a^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{a^{u\left( x \right)}}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)h) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right),\left\{ {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right\}' = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]'\)i) \(\left( {{{\log }_a}u\left( x \right)} \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)\ln a}}\left( {u\left( x \right) > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' = {\left( {\frac{{ - 3{x^2}}}{2} + \frac{2}{x} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right)'} = \frac{{ - 3.2x}}{2} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{{3.{x^2}}}{3} = - 3x - \frac{2}{{{x^2}}} + {x^2}\);b) Ta có: \(y = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 9} \right) = \left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)\)\( = {x^6} - 5{x^4} + 4{x^2} + 9{x^4} - 45{x^2} + 36 = {x^6} + 4{x^4} - 41{x^2} + 36\)Do đó, \(y' = \left( {{x^6} + 4{x^4} - 41{x^2} + 36} \right)' = 6{x^5} + 16{x^3} - 82x\)c) \(y' = {\left( {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)'\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2{x^3} + 2{x^2} + 2x - 2{x^2} - 2x - 2 - 2{x^3} - {x^2} + 4{x^2} + 2x}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} + 2x - 2}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)d) \(y' = {\left( {\frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2\left( {x + 1} \right) - \left( {1 - 2x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - 2x - 2 - 1 + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)e) \(y' = \left( {x.{e^{2x + 1}}} \right)' = x'.{e^{2x + 1}} + x.\left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = {e^{2x + 1}} + x.2.{e^{2x + 1}} = {e^{2x + 1}}\left( {2x + 1} \right)\);g) \(y' = \left( {\left( {2x + 3} \right){{.3}^{2x + 1}}} \right)' = \left( {2x + 3} \right)'{.3^{2x + 1}} + \left( {2x + 3} \right).\left( {{3^{2x + 1}}} \right)'\)\( = {2.3^{2x + 1}} + \left( {2x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)'{.3^{2x + 1}}\ln 3 = {2.3^{2x + 1}} + {2.3^{2x + 1}}\left( {2x + 3} \right)\ln 3\)\( = {2.3^{2x + 1}}\left[ {\left( {2x + 3} \right)\ln 3 + 1} \right]\)h) \(y' = \left( {x{{\ln }^2}x} \right)' = x'{\ln ^2}x + x.\left( {{{\ln }^2}x} \right)' = {\ln ^2}x + 2x.\ln x.\frac{1}{x} = {\ln ^2}x + 2.\ln x\);i) \(y' = \left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\)
Bài 1 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các hàm số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định tập xác định, tập giá trị, tính chu kỳ và vẽ đồ thị của hàm số.
Bài 1 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Hàm số y = sin(2x) xác định khi và chỉ khi biểu thức bên trong hàm sin xác định. Vì hàm sin xác định với mọi giá trị thực của x, nên 2x cũng xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, tập xác định của hàm số y = sin(2x) là tập số thực R.
Hàm số y = cos(x + π/3) là một hàm cosin với biên độ bằng 1 và pha ban đầu là π/3. Tập giá trị của hàm cosin là [-1, 1]. Do đó, tập giá trị của hàm số y = cos(x + π/3) là [-1, 1].
Chu kỳ của hàm số y = tan(x) là π. Chu kỳ của hàm số y = tan(ax) là π/|a|. Trong trường hợp này, a = 3, nên chu kỳ của hàm số y = tan(3x) là π/3.
Để vẽ đồ thị của hàm số y = cot(x/2), ta cần xác định các điểm đặc biệt và các đường tiệm cận đứng. Hàm số y = cot(x) có các đường tiệm cận đứng tại x = kπ, với k là số nguyên. Do đó, hàm số y = cot(x/2) có các đường tiệm cận đứng tại x/2 = kπ, hay x = 2kπ. Đồ thị của hàm số y = cot(x/2) có dạng tương tự như đồ thị của hàm số y = cot(x), nhưng được giãn rộng theo phương ngang.
Để giải quyết bài 1 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là một số mẹo giúp bạn giải quyết các bài tập về hàm số lượng giác một cách dễ dàng hơn:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 hoặc các tài liệu tham khảo khác.
Bài 1 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức bổ trợ được cung cấp trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải quyết các bài toán tương tự.
