Trắc nghiệm Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn Toán 8 Cánh diều

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Chu vi tấm thảm ABC là: \(AB + BC + AC = 400\)

Chu vi tấm thảm A’B’C’ là: \(P' = A'B' + B'C' + A'C'\)

Vì tấm thảm ABC đồng dạng phối cảnh với tấm thảm A’B’C’ tâm O, tỉ số \(\frac{2}{3}\) nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{2}{3}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{{400}}{{P'}} = \frac{2}{3}\) nên \(P' = 400.\frac{3}{2} = 600\left( {cm} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{4}} \right)\) và các đường thẳng BE và MQ cắt nhau tại A nên BM là hình đồng dạng phối cảnh với EQ, tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{4}\)

Vì \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AP}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) và các đường thẳng DC và NP cắt nhau tại A nên CN là hình đồng dạng phối cảnh với DP, tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{2}{3}\)

Trong tam giác AQE có: \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{4}} \right)\) nên BM//EQ.

Áp dụng hệ quả định lý Thalès vào tam giác AQE có:

\(\frac{{BM}}{{EQ}} = \frac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BM}}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow BM = 1\left( m \right)\)

Trong tam giác AQE có: \(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\left( { = \frac{3}{4}} \right)\) nên DP//EQ.

Theo hệ quả định lý Thalès vào tam giác AQE có:

\(\frac{{PD}}{{EQ}} = \frac{{AP}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{DP}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow DP = 3\left( m \right)\)

Trong tam giác ADP có: \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AP}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên CN//DP.

Theo hệ quả định lý Thalès vào tam giác APD có:

\(\frac{{CN}}{{DP}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{CN}}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow CN = 2\left( m \right)\)

Vậy có 2 khẳng định đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD với tỉ số đồng dạng k nên \(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{24}}{{12}} = 2\)

Ta có: \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = 2 \Rightarrow B'C' = 16.2 = 32\left( {cm} \right)\)

Diện tích bức tranh A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 24.32 = 768\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là 2 nên \(\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=2\)

\(\Rightarrow A'B'=24cm,B'C'=32cm,A'C'=40cm\)

Vì \(A'C{{'}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}\left( {{40}^{2}}={{32}^{2}}+{{24}^{2}} \right)\) nên tam giác A’B’C’ vuông tại B’

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng của tam giác A’B’C’, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là x nên \(\Delta A''B''C''\backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\widehat{A''B''C''}=\widehat{A'B'C'}=90\) và \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=\frac{B''C''}{B'C'}=x\Rightarrow A''B''=24x,A''C''=40x,B''C''=32x\)

Vì tam giác A”B”C” vuông tại B” nên diện tích tam giác A”B”C” là:

\({{S}_{A''B''C''}}=\frac{1}{2}B''A''.B''C''\Rightarrow \frac{1}{2}.24x.32x=1536\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=2\)(do \(x>0\))

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD có tỉ số đồng dạng 2 nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 2\)

Mà \(AB = \frac{5}{{12}}BC \Rightarrow A'B' = \frac{5}{{12}}B'C'.\)

Vì A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'B'C'} = {90^0}\)

Do đó, tam giác A’B’C’ vuông tại B’. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác A’B’C’ vuông tại B’ ta có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}\) (1)

Thay \(A'B' = \frac{5}{{12}}B'C'\) vào (1) ta có:

\({\left( {\frac{5}{{12}}B'C'} \right)^2} + B'C{'^2} = {130^2}\)

\(\frac{{169}}{{144}}B'C{'^2} = 16900\)

\(B'C{'^2} = 14400\) nên \(B'C' = 120cm\)

Do đó, \(A'B' = \frac{5}{{12}}.120 = 50\left( {cm} \right)\)

Vậy diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 50.120 = 6000\left( {c{m^2}} \right)\)

Các hình a, b, c đều thể hiện hình đồng dạng, chỉ có hình d là không thể hiện hình đồng dạng.

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Ta có: \(k = \frac{{4,8}}{{8,4}} = \frac{4}{7}\) nên biển báo M là hình đồng dạng của biển báo P khi thu nhỏ với tỉ số \(k = \frac{4}{7}\)

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Các cặp hình đồng dạng là: Hình a và hình c, hình b và hình d.

Vậy có 2 cặp hình đồng dạng.

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng

Hình H là hình đồng dạng phối cảnh của hình H ₀

Mà hình H ’ bằng với hình H ₀ nên hình H đồng dạng của hình H ₀

Vì hình H là hình đồng dạng phối cảnh của hình H ₀ nên H là hình đồng dạng của hình H ₀

Vậy cả ba khẳng định trên đều đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì \(\frac{{4,5}}{3} = \frac{{3,9}}{{2,6}}\left( { = \frac{3}{2}} \right)\) nên hình b đồng dạng với hình a với tỉ số \(\frac{3}{2}\)

Vì \(\frac{{4,5}}{3} \ne \frac{{3,9}}{2}\) nên hai hình b và c không đồng dạng với nhau

Vì \(\frac{3}{3} \ne \frac{2}{{2,6}}\) nên hai hình a và c không đồng dạng với nhau

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì rằng bức tranh trong hình b là bức tranh trong hình a sau khi thu nhỏ với \(k = \frac{2}{3}\) nên kích thước ở hình b là: \(4.\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) và \(6.\frac{2}{3} = 4\)

Vậy kích thước của bức tranh trong hình b là: \(\frac{8}{3} \times 4\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA’, OB’, OC’, OD’ nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{{OD'}}{{OD}} = 2\)

Lại có các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ cùng đi qua điểm O.

Do đó, bức tranh A’B’C’D’ là hình đồng dạng phối cảnh của bức tranh ABCD, tâm đồng dạng phối cảnh là điểm O, tỉ số 2

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Cây 1 đồng dạng với cây 2 theo tỉ số là \(x = \frac{3}{2}\)

Để cây 2 đồng dạng với cây 3 theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{3}{2}\) thì \(? = 2:\frac{3}{2} = \frac{4}{3}\left( m \right)\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Độ dài cạnh của tem thư 1 là: \(\sqrt {144} = 12\left( {cm} \right)\)

Độ dài cạnh của tem thư 2 là: \(40:4 = 10\left( {cm} \right)\)

Do đó, tem thư 1 là hình đồng dạng với tem thư 2 với tỉ số: \(\frac{{12}}{{10}} = \frac{6}{5}\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì B, C, A, D lần lượt là trung điểm của OF, OG, OE, OH nên \(\frac{{OB}}{{FO}} = \frac{{OA}}{{OE}} = \frac{{OD}}{{OH}} = \frac{{OC}}{{OG}} = \frac{1}{2}\) và các đường thẳng AD, EH, GC, FB cùng đi qua điểm O nên hình ABCD là hình đồng dạng phối cảnh với hình EFGH tâm O tỉ số \(\frac{1}{2}\).

Do đó, \(FG = 2BC,FE = 2AB\)

Diện tích bức tranh ABCD là: \(AB.BC = 100\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích bức tranh EFGH là: \(FE.FG = 2AB.2BC = 4AB.BC = 4.100 = 400\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì mặt đĩa H có diện tích bằng \(113,04c{m^2}\) nên bán kính của mặt đĩa H là: \({R^2} = \frac{{113,04}}{{3,14}} = 36 \Rightarrow R = 6cm\)

Vì mặt đĩa H’ là hình đồng dạng với mặt đĩa H có tỉ số đồng dạng bằng 2 nên bán kính mặt đĩa H’ là: \(R' = 2R = 12\left( {cm} \right)\)

Diện tích mặt đĩa H’ là: \({12^2}.3,14 = 452,16\left( {c{m^2}} \right)\)