Trắc nghiệm Bài 3: Đường trung bình của tam giác Toán 8 Cánh diều

Đường trung bình của tam giác của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra EF có độ dài bằng một nửa của AC.

Xét tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC nên DE, DF, EF là ba đường trung bình của tam giác ABC.

Trong các khẳng định trên, chỉ có 1 khẳng định đúng là “Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác”.

Xét tam giác MNP có:

A là trung điểm của NP

B là trung điểm của MN

Suy ra: \(AB = \frac{{MP}}{2} \Rightarrow MP = 2{\rm{A}}B = 2.3 = 6(dm)\)

Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra: MN// BC

Do đó, tứ giác MNCP, tứ giác MNPB và tứ giác MNCB là hình thang.

* Tương tự, có MP là đường trung bình của tam giác nên MP// AC

NP là đường trung bình của tam giác nên NP // AB.

Các tứ giác: MPNA, MPCA và NPBA là hình thang.

Vậy có tất cả 6 hình thang

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC suy ra E là trung điểm của AC

Vì CD là trung tuyến của tam giác ABC suy ra D là trung điểm của AB

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC

Xét tam giác ABC có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên:

\(DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.6 = 3(cm)\)

Vì AE = EM; AF = FN nên EF là đường trung bình của tam giác AMN

Do đó: MN = 2. EF = 2.9 = 18cm

+ Vì I, K lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IK là đường trung bình của tam giác ABC.

=> \(IK = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.8 = 4cm\)

Vậy IK = 4cm

Vì ME = EP và DE // NP nên DM = DN.

Lại có: DN = 10cm suy ra DM = 10cm.

Vì AE = BE, AF = FC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: BC = 2.EF.

Vậy \(\frac{{BC}}{{EF}} = 2\).

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10cm\)

Vì đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy nên độ dài đường trung bình ứng với cạnh BC là: \(\frac{1}{2}.10 = 5cm\) .

Vì E. F, P là trung điểm của các cạnh AB. BC, AC của tam giác ABC nên EP, PF, FE là đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow EP = \frac{1}{2}BC;PF = \frac{1}{2}AB;F{\rm{E}} = \frac{1}{2}AC\)

\( \Rightarrow EP + PF + F{\rm{E}} = \frac{1}{2}\left( {BC + AB + AC} \right) = \frac{1}{2}.32 = 16cm\)

* Ta có: AB² + AC² = BC² (5² + 12² = 13² = 169)

Suy ra: tam giác ABC vuông tại A

⇒ AB ⊥ AC

* Lại có: MN ⊥ AB nên MN // AC.

* Vì MN // AC và M là trung điểm của BC nên N là trung điểm của AB.

Khi đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC .

\(MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.12 = 6cm\)

Ta có: AE = EC = 4cm (1)

Đường thẳng AC cắt hai đoạn thẳng DE, BC tạo thành hai góc đồng vị:

\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {ECB} = {50^o}\)

Suy ra: DE // BC (2)

Từ(1) và (2) ta thấy DE đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai nên D đi qua trung điểm của cạnh AB

Do đó: AD = BD = 5cm

Hay x = 5cm

Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC:

\( \Rightarrow MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{{12}}.12 = 6cm\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.12 = 6cm\\NC = \frac{1}{2}.AC = \frac{1}{2}.12 = 6cm\end{array}\)

Chu vi tứ giác MNBC là:

BM + MN + NC + BC = 6 + 6 + 6 +12 = 30cm

Xét tam giác ABD có H là trung điểm của AD, E là trung điểm của AB

\( \Rightarrow HE\) là đường trung bình của tam giác ABD

\( \Rightarrow HE = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{1}{2}.18 = 9cm\)

Xét tam giác CBD có F là trung điểm của BC, G là trung điểm của CD

\( \Rightarrow GF\) là đường trung bình của tam giác CBD

\( \Rightarrow GF = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{1}{2}.18 = 9cm\)

Tổng độ dài hai đoạn thẳng HE và GF là: 9 + 9 = 18cm

Vì tam giác ABC đều nên AC = AB = BC

Mặt khác chu vi tam giác ABC bằng 30cm

Suy ra độ dài cạnh AB là 30 : 3 = 10cm

Độ dài đường trung bình ứng với cạnh AB là: \(\frac{1}{2}.10 = 5cm\) .

Xét tam giác ABC có: AD = DB; AE = EC

\( \Rightarrow DE\) là đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.28 = 14cm\)

Xét tam giác GBC có GM = MB; GN = NC

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác GBC

\( \Rightarrow MN = \frac{{BC}}{2} = \frac{1}{2}.28 = 14cm\)

Xét tam giác GMN có GM = MB; GN = NC

\( \Rightarrow IK\) là đường trung bình của tam giác GMN

\( \Rightarrow IK = \frac{{MN}}{2} = \frac{1}{2}.14 = 7cm\)

Khi đó: DE + IK = 14 + 7 = 21cm

Vì D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên DE, EF, DF là các đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC;DF = \frac{1}{2}AC;{\rm{EF = }}\frac{1}{2}AB\)

Do đó: \(DE + DF + {\rm{EF = }}\frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {BC + AC + AB} \right)\)

Khi đó chu vi tam giác DEF bằng \(\frac{1}{2}\) chu vi tam giác ABC

Vậy chu vi tam giác ABC là: 2.21 = 42cm

Vì AH là tia phân giác của goác BAC, AH vuông góc BD nên tam giác cân tại A.

\( \Rightarrow AB = A{\rm{D}} = 24cm\)

Do tam giác ABD cân tại A nên AH là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABD

Suy ra H là trung điểm của BD

Ta có: DC = AC – AD = 36 – 24 = 12cm

Xét tam giác BDC, ta có H là trung điểm của BD , M là trung điểm của BC nên HM là đường trung bình của tam giác BDC

\( \Rightarrow HM = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}.12 = 6cm\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AD, I là trung điểm của CD

Suy ra: EI là đường trung bình của tam giác ADC

Do đó \(EI//AC\)

Nên \(\widehat {IE{\rm{D}}} = \widehat A = {70^o}\) (đồng vị) và \(EI = \frac{{AC}}{2}\)

Tương tự: FI là đường trung bình của tam giác CBD

Suy ra FI //BD; \(FI = \frac{{B{\rm{D}}}}{2}\)

Do đó \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc so le trong bằng nhau)

Lại có: AC = BD (giả thiết), suy ra EI = FI

Suy ra tam giác FIE cân tại I

Do đó \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{F_1}}\)

Suy ra \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} = \frac{1}{2}\widehat {IE{\rm{D}}} = \frac{1}{2}.\widehat A = \frac{1}{2}.70 = {35^o}\)

Gọi E là trung điểm của CD

Suy ra BD = DE = EC

Từ E kẻ \({\rm{EF}} \bot A{\rm{D}};F \in A{\rm{D}}\)

Ta có: \({\rm{EF}} \bot A{\rm{D}};CK \bot A{\rm{D}};//CK \Rightarrow F\) là trung điểm của DK.

Suy ra EF là đường trung bình của tam giác DKC.

\( \Rightarrow {\rm{EF = }}\frac{1}{2}CK\)

Xét tam giác vuông BHD và tam giác vuông EFD có:

\(\widehat {B{\rm{D}}H} = \widehat {E{\rm{D}}F}\) (đối đỉnh)

BD = ED ( chứng minh trên)

Do đó: \(\Delta BH{\rm{D}} = \Delta {\rm{EFD}}\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: BH = EF

Vậy \(BH = \frac{1}{2}CK\) hay CK = 2BH là khẳng định đúng.

Gọi F là trung điểm của EC

Xét tam giác BEC ta có: F là trung điểm của EC, M là trung điểm của BC

Suy ra MF đường trung bình của tam giác BEC

Suy ra: MF // BE; \(MF = \frac{1}{2}BE\)

Xét tam giác AMF có: AD = DM; DE // MF nên AE = FE

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác AMF

\( \Rightarrow MF = \frac{1}{2}BE\)

Do đó: \(\frac{{BE}}{{DE}} = 4\)

Gọi E là trung điểm của DC

Xét tam giác BDC có: BM = MC; DE = EC nên ME là đường trung bình của tam giác BDC. Suy ra BD // ME hay DI // EM

Xét tam giác AME có AD = DE; DI // ME nên AI = IM

Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AC, CD

Khi đó ME là đường trung bình của tam giác ACD \( \Rightarrow ME//DA\)

Gọi N là trung điểm của AD, BM

Vì M là trung điểm của AC suy ra \(AM = \frac{1}{2}AC\) mà \(AB = \frac{1}{2}AC(gt)\)

Suy ra: AB = AM

Suy ra tam giác ABM cân tại A có AN là phân giác nên AN cũng là đường trung tuyến của tam giác AMB

Hay NB = NM

Xét tam giác BME có NB //NM, ND // ME nên D là trung điểm BE

\( \Rightarrow B{\rm{D = DE}}\)

Lại có: \(DE = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}.8 = 4cm\)

Vậy: BD = 4cm