Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học & Nhị thức Newton - Toán 10 Chân trời sáng tạo

Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton - Toán 10 Chân trời sáng tạo

I. Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên. Phương pháp này bao gồm hai bước:

Bước cơ sở: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1 (hoặc một số tự nhiên nhỏ nhất phù hợp).
Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, chứng minh nó cũng đúng với n = k+1.

1.1. Ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi trong việc chứng minh các công thức tổng quát, tính chất của dãy số, và nhiều bài toán khác trong toán học.

1.2. Ví dụ minh họa

Chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 với mọi số tự nhiên n.

Bước cơ sở: Với n = 1, ta có 1 = 1(1+1)/2, mệnh đề đúng.
Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1.
Ta có: 1 + 2 + ... + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k(k+1) + 2(k+1))/2 = (k+1)(k+2)/2.
Vậy mệnh đề đúng với n = k+1.

II. Nhị thức Newton

Nhị thức Newton là công thức khai triển (a + b)^n, với n là một số tự nhiên. Công thức này được biểu diễn như sau:

(a + b)^n = C_n⁰aⁿb⁰ + C_n¹a^n-1b¹ + ... + C_nⁿa⁰bⁿ

Trong đó, C_n^k là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

2.1. Tam giác Pascal

Tam giác Pascal là một công cụ hữu ích để tính toán các hệ số nhị thức. Mỗi hàng của tam giác Pascal tương ứng với một giá trị của n, và các số trong hàng đó là các hệ số nhị thức C_n^k.