Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 30, 31 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo trên giaibaitoan.com. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích từng bài tập, cung cấp phương pháp giải và đáp án chính xác.
Chứng minh rằng ({n^3} + 2n) chia hết cho 3 với mọi (n in mathbb{N}*)
Chứng minh rằng \({n^3} + 2n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({k^3} + 2k\) chia hết cho 3
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1)\) chia hết cho 3
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần \((n \in \mathbb{N}*)\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.
Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần
Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.
Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.
Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là \(2k + 2 = 2(k + 1)\).
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 - q}}{{1 - q}}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\(\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 - {q^k} + {q^k}(1 - q)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu khoongg rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, ngguowif gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi \({T_n}\) là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n \((n \in \mathbb{N}*)\).
a) Tính \({T_1},{T_2},{T_3}.\)
b) Từ đó, dự đoán công thức tính \({T_n}\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải:
PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)
Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)
Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)
b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)
Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Chứng minh rằng \({n^3} + 2n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({k^3} + 2k\) chia hết cho 3
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1)\) chia hết cho 3
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 - q}}{{1 - q}}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\(\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 - {q^k} + {q^k}(1 - q)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần \((n \in \mathbb{N}*)\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.
Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần
Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.
Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.
Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là \(2k + 2 = 2(k + 1)\).
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu khoongg rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, ngguowif gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi \({T_n}\) là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n \((n \in \mathbb{N}*)\).
a) Tính \({T_1},{T_2},{T_3}.\)
b) Từ đó, dự đoán công thức tính \({T_n}\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải:
PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)
Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)
Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)
b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)
Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các khái niệm và ứng dụng của vectơ trong mặt phẳng. Nội dung bao gồm định nghĩa vectơ, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), và các tính chất của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học và vật lý trong chương trình học.
Bài tập 1 yêu cầu xác định các vectơ bằng nhau. Để giải bài này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Việc vẽ hình minh họa sẽ giúp các em dễ dàng so sánh và xác định các vectơ bằng nhau.
Bài tập 2 liên quan đến phép cộng vectơ. Để cộng hai vectơ, ta có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Quy tắc hình bình hành cho phép ta tìm vectơ tổng bằng cách vẽ hình bình hành với hai vectơ ban đầu là hai cạnh kề. Quy tắc tam giác cho phép ta tìm vectơ tổng bằng cách đặt đầu mút của vectơ thứ hai trùng với đầu mút của vectơ thứ nhất.
Bài tập 3 yêu cầu tìm vectơ đối của một vectơ cho trước. Vectơ đối của một vectơ là vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Để tìm vectơ đối, ta chỉ cần đổi dấu tất cả các tọa độ của vectơ ban đầu.
Bài tập 4 liên quan đến phép nhân vectơ với một số thực. Phép nhân vectơ với một số thực làm thay đổi độ dài của vectơ. Nếu số thực là dương, vectơ mới có cùng hướng với vectơ ban đầu. Nếu số thực là âm, vectơ mới ngược hướng với vectơ ban đầu.
Bài tập 5 là một bài toán tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán trên vectơ để giải quyết một bài toán thực tế. Để giải bài này, các em cần phân tích bài toán, xác định các vectơ liên quan, và áp dụng các công thức và quy tắc đã học.
Vectơ có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, và khoa học máy tính. Ví dụ, trong vật lý, vectơ được sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý như vận tốc, gia tốc, và lực. Trong kỹ thuật, vectơ được sử dụng để mô tả các chuyển động và lực tác dụng lên các vật thể. Trong khoa học máy tính, vectơ được sử dụng để biểu diễn các điểm, đường thẳng, và mặt phẳng trong không gian.
Để hiểu sâu hơn về vectơ và các ứng dụng của chúng, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 2 trang 30, 31 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo trên giaibaitoan.com sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về vectơ và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
