Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 44 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, rõ ràng và dễ tiếp thu nhất.
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
b) Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({a^2} = 64,{b^2} = 36 \Rightarrow a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 \)
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) là:
\(M{F_1} = 8 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}x;M{F_2} = 8 - \frac{{\sqrt 7 }}{4}x.\)
b) Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Để độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau thì \(a + \frac{c}{a}x = a - \frac{c}{a}x\)
\( \Leftrightarrow \frac{c}{a}x = - \frac{c}{a}x \Leftrightarrow x = 0\)
Mà \(M(x,y) \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm b\)
Vậy tại các điểm \({B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) thì độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
a) Tính \({F_1}{M^2}\) và \({F_2}{M^2}\) theo \(x,y,c.\)
b) Chứng tỏ rằng \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = 4cx,\;{F_1}M - {F_2}M = 2\frac{{cx}}{a}\)
c) Tính độ dài hai đoạn \(M{F_1},M{F_2}\) theo \(a,c,x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
b) \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
Mà \({F_1}M + {F_2}M = 2a\) (do \(M \in (E)\))
\( \Rightarrow \;{F_1}M - {F_2}M = \frac{{{F_1}{M^2} - {F_2}{M^2}}}{{{F_1}M + {F_2}M}} = 2\frac{{cx}}{a}\)
c)
\(\begin{array}{l}M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).
Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cát hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của elip biểu diễn vòm xe điện ngầm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Nói cách khác tiếng nói phát ra từ một tiêu điểm bên này, khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn tới tiêu điểm bên kia với cùng một quãng đường là \(2a\).
Do đó tiếng nói vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
a) Tính \({F_1}{M^2}\) và \({F_2}{M^2}\) theo \(x,y,c.\)
b) Chứng tỏ rằng \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = 4cx,\;{F_1}M - {F_2}M = 2\frac{{cx}}{a}\)
c) Tính độ dài hai đoạn \(M{F_1},M{F_2}\) theo \(a,c,x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
b) \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
Mà \({F_1}M + {F_2}M = 2a\) (do \(M \in (E)\))
\( \Rightarrow \;{F_1}M - {F_2}M = \frac{{{F_1}{M^2} - {F_2}{M^2}}}{{{F_1}M + {F_2}M}} = 2\frac{{cx}}{a}\)
c)
\(\begin{array}{l}M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
b) Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({a^2} = 64,{b^2} = 36 \Rightarrow a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 \)
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) là:
\(M{F_1} = 8 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}x;M{F_2} = 8 - \frac{{\sqrt 7 }}{4}x.\)
b) Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Để độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau thì \(a + \frac{c}{a}x = a - \frac{c}{a}x\)
\( \Leftrightarrow \frac{c}{a}x = - \frac{c}{a}x \Leftrightarrow x = 0\)
Mà \(M(x,y) \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm b\)
Vậy tại các điểm \({B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) thì độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).
Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cát hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của elip biểu diễn vòm xe điện ngầm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Nói cách khác tiếng nói phát ra từ một tiêu điểm bên này, khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn tới tiêu điểm bên kia với cùng một quãng đường là \(2a\).
Do đó tiếng nói vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Mục 2 trang 44 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết liên quan, hiểu rõ các định nghĩa, định lý và công thức đã học. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích từng bài tập, cung cấp lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng để giúp bạn đạt kết quả tốt nhất.
Thông thường, Mục 2 trang 44 sẽ bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề bài: Cho hàm số f(x) = x2 - 2x + 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải:
Đề bài: Chứng minh rằng phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm thực.
Lời giải:
Vì x2 ≥ 0 với mọi x thuộc tập số thực, nên x2 + 1 ≥ 1 với mọi x thuộc tập số thực. Do đó, phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm thực.
Kiến thức được học trong Mục 2 trang 44 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, như giải phương trình, giải bất phương trình, khảo sát hàm số, và trong các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa và mô hình hóa.
Để hiểu sâu hơn về các kiến thức trong Mục 2 trang 44, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong Mục 2 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
