Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp giải từng bài tập, kèm theo các lưu ý quan trọng để đạt kết quả tốt nhất.
Cho biết tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) của các elip lần lượt là \(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)(Hình 8). Tính tỉ số \(\frac{b}{a}\) theo \(e\) và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi \(e\) thay đổi.
a) Tìm tâm sai của elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{99}} = 1\) và elip (E’): \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng “dẹt” hơn?
Phương pháp giải:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.
Lời giải chi tiết:
a) Elip (E) có \({a^2} = 100,{b^2} = 99\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 1,e = \frac{c}{a} = \frac{1}{{10}}.\)
Elip (E’) có \({a^2} = 10,{b^2} = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3,e = \frac{c}{a} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\)
b) Ta thấy \(\frac{3}{{\sqrt {10} }} > \frac{1}{{10}}\), vậy elip (E’) “dẹt” hơn elip (E).
Trong hệ Mặt Trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Từ hình ảnh mô phỏng quỹ đạo chuyển động của các hành tinh (Hình 9), hãy so sánh tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất với tâm sai quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.
(Nguồn: https://www.nasa.gov)
Phương pháp giải:
+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy quỹ đạo của tiểu hành tinh HD20782b dẹt hơn quỹ đạo của Trái Đất, suy ra tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh lớn hơn tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của Trái Đất.
Cho biết tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) của các elip lần lượt là \(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)(Hình 8). Tính tỉ số \(\frac{b}{a}\) theo \(e\) và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi \(e\) thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {c^2}} }}{a} = \sqrt {1 - \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} = \sqrt {1 - {e^2}} \)
Do đó:
- Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và elip trông càng “béo”.
- Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số \(\frac{b}{a}\) càng gần 0 và elip trông càng “dẹt”.
Cho biết tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) của các elip lần lượt là \(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)(Hình 8). Tính tỉ số \(\frac{b}{a}\) theo \(e\) và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi \(e\) thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {c^2}} }}{a} = \sqrt {1 - \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} = \sqrt {1 - {e^2}} \)
Do đó:
- Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và elip trông càng “béo”.
- Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số \(\frac{b}{a}\) càng gần 0 và elip trông càng “dẹt”.
a) Tìm tâm sai của elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{99}} = 1\) và elip (E’): \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng “dẹt” hơn?
Phương pháp giải:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.
Lời giải chi tiết:
a) Elip (E) có \({a^2} = 100,{b^2} = 99\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 1,e = \frac{c}{a} = \frac{1}{{10}}.\)
Elip (E’) có \({a^2} = 10,{b^2} = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3,e = \frac{c}{a} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\)
b) Ta thấy \(\frac{3}{{\sqrt {10} }} > \frac{1}{{10}}\), vậy elip (E’) “dẹt” hơn elip (E).
Trong hệ Mặt Trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Từ hình ảnh mô phỏng quỹ đạo chuyển động của các hành tinh (Hình 9), hãy so sánh tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất với tâm sai quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.
(Nguồn: https://www.nasa.gov)
Phương pháp giải:
+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy quỹ đạo của tiểu hành tinh HD20782b dẹt hơn quỹ đạo của Trái Đất, suy ra tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh lớn hơn tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của Trái Đất.
Mục 3 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán trên vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng trong mục này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 3 trang 45, 46. Mỗi bài tập sẽ được phân tích kỹ lưỡng, đưa ra phương pháp giải phù hợp và giải thích rõ ràng từng bước để các em có thể hiểu rõ bản chất của vấn đề.
Bài tập này yêu cầu các em xác định các vectơ bằng nhau dựa trên tọa độ của chúng. Để giải bài tập này, các em cần nhớ lại định nghĩa hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ. Ví dụ, nếu vectơ a có tọa độ (x1, y1) và vectơ b có tọa độ (x2, y2), thì a = b khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2.
Bài tập này yêu cầu các em thực hiện phép cộng, trừ vectơ dựa trên tọa độ của chúng. Để giải bài tập này, các em cần nhớ lại quy tắc cộng, trừ vectơ: nếu vectơ a có tọa độ (x1, y1) và vectơ b có tọa độ (x2, y2), thì a + b = (x1 + x2, y1 + y2) và a - b = (x1 - x2, y1 - y2).
Bài tập này yêu cầu các em tìm tọa độ của điểm thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến vectơ. Để giải bài tập này, các em cần sử dụng các kiến thức về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, phương trình đường thẳng và các công thức liên quan đến tọa độ điểm.
Bài tập này yêu cầu các em chứng minh đẳng thức vectơ. Để giải bài tập này, các em cần sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ, các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và các công thức liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ.
Vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học. Chúng ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn các điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, hình đa giác và các yếu tố hình học khác. Ngoài ra, vectơ còn được sử dụng để chứng minh các tính chất hình học, tính diện tích, thể tích và giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc.
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 3 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về vectơ và ứng dụng của chúng trong hình học. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Bài tập | Nội dung chính | Phương pháp giải |
|---|---|---|
| Bài 1 | Xác định vectơ bằng nhau | So sánh tọa độ |
| Bài 2 | Phép cộng, trừ vectơ | Quy tắc cộng, trừ tọa độ |
| Bài 3 | Tìm tọa độ điểm | Sử dụng vectơ chỉ phương, pháp tuyến |
| Bài 4 | Chứng minh đẳng thức vectơ | Biến đổi vectơ, tính chất |
