Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 55, 56, 57, 58 Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập, phân tích các bước giải một cách logic và rõ ràng, đồng thời cung cấp các lưu ý quan trọng để các em đạt kết quả tốt nhất.
Cho điểm \(M(x;y)\) trên parabol (P) \({y^2} = 2px\) (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm \(F\) của (P).
Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng.
a) Điểm \({M_1}(1; - 4)\) trên \(({P_1}):{y^2} = 16x\)
b) Điểm \({M_2}(3; - 3)\) trên \(({P_2}):{y^2} = 3x\)
c) Điểm \({M_3}(4;1)\) trên \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x\)
Phương pháp giải:
Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\)
+) Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, bán kính qua tiêu: \(FM = {x_0} + \frac{p}{2}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(({P_1}):{y^2} = 16x\)
Ta có \(2p = 16\), suy ra \(p = 8\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_1}(1; - 4)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 1 + \frac{8}{2} = 5.\)
b) \(({P_2}):{y^2} = 3x\)
Ta có \(2p = 3\), suy ra \(p = \frac{3}{2}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_2}(3; - 3)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 3 + \frac{{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{{15}}{4}.\)
c) \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x\)
Ta có \(2p = \frac{1}{4}\), suy ra \(p = \frac{1}{8}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_3}(4;1)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 4 + \frac{{\frac{1}{8}}}{2} = \frac{{65}}{{16}}.\)
Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 0,25x\). Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten tại tiêu điểm F của (P). Tính khoảng cách từ điểm \(M(0,25;0,25)\) trên ăng-ten đến F.
Phương pháp giải:
Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\)
+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)
Lời giải chi tiết:
(P) \({y^2} = 0,25x\) có \(2p = 0,25 \Leftrightarrow p = \frac{1}{8}\)
Khoảng cách từ điểm \(M(0,25;0,25)\) trên ăng-ten đến \(F\) là:
\(MF = {x_M} + \frac{p}{2} = 0,25 + \frac{{\frac{1}{8}}}{2} = 0,3125\)
Một cổng có dạng một đường parabol (P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổn. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng.
Phương pháp giải:
Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\)
+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\)
Chiều cao của cổng là 7,6 m nên \(A(7,6;0)\)
Khoản cách giữa hai chân cổng là 9m nên \(B(7,6;4,5)\)
\(B \in (P)\) suy ra \(4,{5^2} = 2p.7,6 \Rightarrow p = \frac{{405}}{{304}}\)
Tiêu điểm F của (P) có tọa độ: \(F\left( {\frac{{405}}{{608}};0} \right)\)
Hay khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng là \(\frac{{405}}{{608}} \approx 0,67(m)\),
Cho điểm \(M(x;y)\) trên parabol (P) \({y^2} = 2px\) (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm \(F\) của (P).
Lời giải chi tiết:
Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)
Ta có:
\(MF = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + 2p{x_0}} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2}} = x + \frac{p}{2}\);
Cho điểm \(M(x;y)\) trên parabol (P) \({y^2} = 2px\) (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm \(F\) của (P).
Lời giải chi tiết:
Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)
Ta có:
\(MF = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + 2p{x_0}} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2}} = x + \frac{p}{2}\);
Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng.
a) Điểm \({M_1}(1; - 4)\) trên \(({P_1}):{y^2} = 16x\)
b) Điểm \({M_2}(3; - 3)\) trên \(({P_2}):{y^2} = 3x\)
c) Điểm \({M_3}(4;1)\) trên \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x\)
Phương pháp giải:
Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\)
+) Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, bán kính qua tiêu: \(FM = {x_0} + \frac{p}{2}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(({P_1}):{y^2} = 16x\)
Ta có \(2p = 16\), suy ra \(p = 8\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_1}(1; - 4)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 1 + \frac{8}{2} = 5.\)
b) \(({P_2}):{y^2} = 3x\)
Ta có \(2p = 3\), suy ra \(p = \frac{3}{2}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_2}(3; - 3)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 3 + \frac{{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{{15}}{4}.\)
c) \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x\)
Ta có \(2p = \frac{1}{4}\), suy ra \(p = \frac{1}{8}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_3}(4;1)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 4 + \frac{{\frac{1}{8}}}{2} = \frac{{65}}{{16}}.\)
Một cổng có dạng một đường parabol (P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổn. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng.
Phương pháp giải:
Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\)
+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\)
Chiều cao của cổng là 7,6 m nên \(A(7,6;0)\)
Khoản cách giữa hai chân cổng là 9m nên \(B(7,6;4,5)\)
\(B \in (P)\) suy ra \(4,{5^2} = 2p.7,6 \Rightarrow p = \frac{{405}}{{304}}\)
Tiêu điểm F của (P) có tọa độ: \(F\left( {\frac{{405}}{{608}};0} \right)\)
Hay khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng là \(\frac{{405}}{{608}} \approx 0,67(m)\),
Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 0,25x\). Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten tại tiêu điểm F của (P). Tính khoảng cách từ điểm \(M(0,25;0,25)\) trên ăng-ten đến F.
Phương pháp giải:
Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\)
+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)
Lời giải chi tiết:
(P) \({y^2} = 0,25x\) có \(2p = 0,25 \Leftrightarrow p = \frac{1}{8}\)
Khoảng cách từ điểm \(M(0,25;0,25)\) trên ăng-ten đến \(F\) là:
\(MF = {x_M} + \frac{p}{2} = 0,25 + \frac{{\frac{1}{8}}}{2} = 0,3125\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán trên vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các chương trình Toán học ở các lớp trên.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về quy tắc cộng, trừ vectơ để tìm vectơ kết quả. Cần lưu ý rằng, khi cộng hoặc trừ hai vectơ, ta cộng hoặc trừ các thành phần tương ứng của chúng. Ví dụ, cho hai vectơ a = (x1, y1) và b = (x2, y2), thì a + b = (x1 + x2, y1 + y2) và a - b = (x1 - x2, y1 - y2).
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích của một số với vectơ để tìm vectơ kết quả. Cần lưu ý rằng, khi nhân một vectơ với một số thực, ta nhân mỗi thành phần của vectơ đó với số thực đó. Ví dụ, cho vectơ a = (x, y) và số thực k, thì ka = (kx, ky).
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải các bài toán hình học, chẳng hạn như chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng, hoặc tính độ dài đoạn thẳng. Cần lưu ý rằng, vectơ có thể được sử dụng để biểu diễn các điểm, đường thẳng, và các hình hình học khác.
Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh rằng ba điểm này thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ AB và vectơ AC cùng phương. Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra rằng tồn tại một số thực k sao cho AC = kAB.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng tất cả các kiến thức đã học về vectơ để giải các bài toán phức tạp hơn. Cần lưu ý rằng, khi giải các bài toán này, ta cần phân tích bài toán một cách kỹ lưỡng, xác định các vectơ liên quan, và áp dụng các quy tắc và công thức phù hợp.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| a + b = (x1 + x2, y1 + y2) | Phép cộng vectơ |
| a - b = (x1 - x2, y1 - y2) | Phép trừ vectơ |
| ka = (kx, ky) | Tích của một số với vectơ |
Hy vọng rằng, với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải các bài tập trong mục 2 trang 55, 56, 57, 58 Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập khác, chẳng hạn như sách giáo khoa, sách bài tập, và các trang web học toán online uy tín. Việc tự học và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
