Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo của giaibaitoan.com. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả cao trong học tập.
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\)
\({2^{n + 1}} > {n^2} + n + 2\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 3\) ta có \({2^{3 + 1}} > {3^2} + 3 + 2\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 3\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({2^{k + 1}} > {k^2} + k + 2\)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({2^{k + 1 + 1}} > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 3\), ta có
\(\begin{array}{l}{2^{k + 1 + 1}} = {2.2^{k + 1}}\\\quad \quad > 2({k^2} + k + 2) = {(k + 1)^2} + {k^2} + 1 + 2\\\quad \quad > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\end{array}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\).
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây,
Một học sinh phát hiện ra công thức sau:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\quad (1)\)
a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với \(n = 1,2,3,4,5.\)
b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?
Lời giải chi tiết:
a) Kiểm tra bằng tính toán trực tiếp. Ta có
\(1 = {1^2}\) nên (1) đúng với \(n = 1\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\) nên (1) đúng với \(n = 2\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\) nên (1) đúng với \(n = 3\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\) nên (1) đúng với \(n = 4\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\) nên (1) đúng với \(n = 5\)
b) Khẳng định của bạn HS chỉ là phỏng đoán. Việc tô màu hay tính toán trực tiếp không thể kiểm chứng hết tất cả các giá trị của n (mà chỉ kiểm chứng được một số hữu hạn giá trị n nào đó). Do đó khẳng định của bạn HS là chưa thuyết phục.
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây,
Một học sinh phát hiện ra công thức sau:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\quad (1)\)
a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với \(n = 1,2,3,4,5.\)
b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?
Lời giải chi tiết:
a) Kiểm tra bằng tính toán trực tiếp. Ta có
\(1 = {1^2}\) nên (1) đúng với \(n = 1\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\) nên (1) đúng với \(n = 2\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\) nên (1) đúng với \(n = 3\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\) nên (1) đúng với \(n = 4\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\) nên (1) đúng với \(n = 5\)
b) Khẳng định của bạn HS chỉ là phỏng đoán. Việc tô màu hay tính toán trực tiếp không thể kiểm chứng hết tất cả các giá trị của n (mà chỉ kiểm chứng được một số hữu hạn giá trị n nào đó). Do đó khẳng định của bạn HS là chưa thuyết phục.
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\)
\({2^{n + 1}} > {n^2} + n + 2\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 3\) ta có \({2^{3 + 1}} > {3^2} + 3 + 2\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 3\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({2^{k + 1}} > {k^2} + k + 2\)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({2^{k + 1 + 1}} > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 3\), ta có
\(\begin{array}{l}{2^{k + 1 + 1}} = {2.2^{k + 1}}\\\quad \quad > 2({k^2} + k + 2) = {(k + 1)^2} + {k^2} + 1 + 2\\\quad \quad > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\end{array}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\).
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào các khái niệm cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các ứng dụng của tập hợp trong giải quyết vấn đề. Việc nắm vững kiến thức trong mục này là nền tảng quan trọng để học tốt các kiến thức tiếp theo trong chương trình Toán 10.
Các bài tập trang 26 thường xoay quanh việc xác định các tập hợp, tìm các phần tử thuộc tập hợp, và sử dụng ký hiệu tập hợp. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu xác định tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, hoặc tìm số phần tử của một tập hợp cho trước.
Trang 27 thường tập trung vào các bài tập về quan hệ giữa các tập hợp, bao gồm quan hệ con, quan hệ bằng nhau, và quan hệ tương đương. Các bài tập này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ định nghĩa và tính chất của các quan hệ này.
Các bài tập trên trang 28 và 29 thường là các bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức đã học trong mục 1. Các bài tập này có thể yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các phép toán trên tập hợp, các quan hệ giữa các tập hợp, và các ứng dụng của tập hợp trong giải quyết vấn đề thực tế.
Ví dụ, một bài tập có thể yêu cầu tìm số lượng học sinh thích học Toán và Tiếng Anh trong một lớp học, hoặc xác định tập hợp các học sinh không thích học cả hai môn này.
Để giải các bài tập trong mục 1 một cách hiệu quả, học sinh cần:
Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản, nhưng nó có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Ví dụ:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả mà giaibaitoan.com cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tốt!
