Chào mừng các em học sinh đến với phần giải bài tập mục 4 trang 54, 55, 56 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của chúng tôi đã biên soạn các lời giải bài tập một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và dễ tiếp thu.
Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Ta có \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Dựa theo cách tính trên, tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(M{F_2} = \left| {a - ex} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right|\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ;
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.\)
Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Hypebol \(({H_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 5 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
b) Hypebol \(({H_2})\) có \(a = 6,b = 8\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 10;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{18}}{5} = 0\)
c) Hypebol \(({H_3})\) có \(a = b = 3\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 3\sqrt 2 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{288}}{{13}}\).
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 26 \Leftrightarrow c = 13\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12\)
Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 5\)
Vậy PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Ta có \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Dựa theo cách tính trên, tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(M{F_2} = \left| {a - ex} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right|\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ;
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.\)
Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Hypebol \(({H_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 5 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
b) Hypebol \(({H_2})\) có \(a = 6,b = 8\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 10;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{18}}{5} = 0\)
c) Hypebol \(({H_3})\) có \(a = b = 3\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 3\sqrt 2 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{288}}{{13}}\).
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 26 \Leftrightarrow c = 13\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12\)
Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 5\)
Vậy PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Mục 4 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng. Nội dung bao gồm định nghĩa vectơ, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), tính chất của các phép toán, và ứng dụng của vectơ trong việc giải quyết các bài toán hình học.
Các bài tập trong mục 4 được chia thành nhiều dạng khác nhau, từ các bài tập cơ bản về định nghĩa vectơ đến các bài tập phức tạp hơn về ứng dụng của vectơ trong chứng minh các đẳng thức hình học.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các yếu tố của vectơ (điểm gốc, điểm cuối, độ dài, hướng) và biểu diễn vectơ bằng hình vẽ.
Bài tập này tập trung vào việc thực hiện các phép cộng và trừ vectơ, sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Học sinh cần hiểu rõ tính chất giao hoán và kết hợp của các phép toán này.
Bài tập này yêu cầu học sinh thực hiện phép nhân vectơ với một số thực, hiểu rõ ý nghĩa của phép nhân này (thay đổi độ dài của vectơ). Học sinh cũng cần nắm vững các tính chất của phép nhân vectơ với một số thực.
Đây là dạng bài tập khó hơn, yêu cầu học sinh sử dụng các kiến thức về vectơ để chứng minh các đẳng thức hình học, chẳng hạn như chứng minh hai vectơ bằng nhau, chứng minh hai đường thẳng song song, hoặc chứng minh một điểm nằm trên một đường thẳng.
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập trong mục 4 trang 54, 55, 56:
Ngoài sách giáo khoa, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:
Hy vọng rằng với hướng dẫn giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 54, 55, 56 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
