Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tại giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 của chuyên đề, trang 8, 9, 10 và 11.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho các hệ phương trình (1) (left{ begin{array}{l}2x - y + z = 1\;,quad 3y - z = 2\quad ,quad ;;,2z = 3end{array} right.)
Cho các hệ phương trình
(1) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\quad 3y - z = 2\\\quad \,\quad \;\;\,2z = 3\end{array} \right.\)
(2) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\;\;\;\;2y + z = - 1\\\;\;\;\;\;\,2y - z = - 4\end{array} \right.\)
a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.
b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình thứ hai chỉ có 2 ẩn y, z còn phương trình ba chỉ có 1 ẩn z.
Giải hệ phuơng trình:
Từ phương trình thứ ba suy ra \(z = \frac{3}{2}\).
Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(3y - \frac{3}{2} = 2 \Leftrightarrow y = \frac{7}{6}\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(2x - \frac{7}{6} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};\frac{3}{2}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,2y - z = - 4\;\;(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,\quad \;\,2z = 3\;\;(3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(z = \frac{3}{2}\).
Thay \(z = \frac{3}{2}\) vào phương trình (2) ta được: \(2y + \frac{3}{2} = - 1 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5}}{4}\)
Thay \(z = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{{ - 5}}{4}\) vào phương trình (1) ta được: \(2x - \frac{{ - 5}}{4} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{8}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ - 7}}{8};\frac{{ - 5}}{4};\frac{3}{2}} \right)\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + 2y - z = - 2\\x - 3y + z = 3\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\\x + 2y - z = 1\\2x - 3y + 3z = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\x - 4y + 2z = - 1\\4x - y + 3z = 1\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z = - 2\quad (2)\\x - 3y + z = 3\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z = - 2\quad (2)\\\quad y - z = - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z = - 3\quad (2.1)\\\quad y - z = - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z = - 3\quad (2.1)\\\quad \;3y = - 1\quad \quad \,(3.2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.2) ta có \(y = \frac{{ - 1}}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) vào phương trình (2.1) ta được \(z = \frac{5}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) và \(z = \frac{5}{3}\) vào phương trình (1) ta được \(x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{5}{3}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\x + 2y - z = 1\quad \;\;\quad (2)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\3x - y + 2z = 3\quad \quad (2.1)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\x - 4y + 2z = - 1\;(2)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (2) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -4, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(3.1)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1), ta có \(z = 3y - 1\), thay vào phương trình (1) ta được \(x = - 2y + 1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 2y + 1;y;3y - 1)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết (P) đi qua ba điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Thay tọa độ 3 điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1)\) vào phương trình của parabol ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\quad \quad c = - 1\quad \quad (1)\\a + b + c = - 2\quad \;(2)\\4a + 2b + c = - 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Thay \(c = - 1\) vào phương trình (2) và (3) ta được hệ PT:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b - 1 = - 2\quad \;(2)\\4a + 2b - 1 = - 1\quad (3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = - 1\quad \;(2)\\4a + 2b = 0\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -2, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = - 1\quad \;(2)\\\quad 2a = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(a = 1\)
Thay \(a = 1\) vào PT (2) ta được \(b = - 2\)
Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} - 2x - 1\)
Cho các hệ phương trình
(1) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\quad 3y - z = 2\\\quad \,\quad \;\;\,2z = 3\end{array} \right.\)
(2) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\;\;\;\;2y + z = - 1\\\;\;\;\;\;\,2y - z = - 4\end{array} \right.\)
a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.
b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình thứ hai chỉ có 2 ẩn y, z còn phương trình ba chỉ có 1 ẩn z.
Giải hệ phuơng trình:
Từ phương trình thứ ba suy ra \(z = \frac{3}{2}\).
Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(3y - \frac{3}{2} = 2 \Leftrightarrow y = \frac{7}{6}\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(2x - \frac{7}{6} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};\frac{3}{2}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,2y - z = - 4\;\;(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,\quad \;\,2z = 3\;\;(3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(z = \frac{3}{2}\).
Thay \(z = \frac{3}{2}\) vào phương trình (2) ta được: \(2y + \frac{3}{2} = - 1 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5}}{4}\)
Thay \(z = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{{ - 5}}{4}\) vào phương trình (1) ta được: \(2x - \frac{{ - 5}}{4} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{8}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ - 7}}{8};\frac{{ - 5}}{4};\frac{3}{2}} \right)\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + 2y - z = - 2\\x - 3y + z = 3\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\\x + 2y - z = 1\\2x - 3y + 3z = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\x - 4y + 2z = - 1\\4x - y + 3z = 1\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z = - 2\quad (2)\\x - 3y + z = 3\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z = - 2\quad (2)\\\quad y - z = - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z = - 3\quad (2.1)\\\quad y - z = - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z = - 3\quad (2.1)\\\quad \;3y = - 1\quad \quad \,(3.2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.2) ta có \(y = \frac{{ - 1}}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) vào phương trình (2.1) ta được \(z = \frac{5}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) và \(z = \frac{5}{3}\) vào phương trình (1) ta được \(x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{5}{3}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\x + 2y - z = 1\quad \;\;\quad (2)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\3x - y + 2z = 3\quad \quad (2.1)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\x - 4y + 2z = - 1\;(2)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (2) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -4, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(3.1)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1), ta có \(z = 3y - 1\), thay vào phương trình (1) ta được \(x = - 2y + 1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 2y + 1;y;3y - 1)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết (P) đi qua ba điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Thay tọa độ 3 điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1)\) vào phương trình của parabol ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\quad \quad c = - 1\quad \quad (1)\\a + b + c = - 2\quad \;(2)\\4a + 2b + c = - 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Thay \(c = - 1\) vào phương trình (2) và (3) ta được hệ PT:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b - 1 = - 2\quad \;(2)\\4a + 2b - 1 = - 1\quad (3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = - 1\quad \;(2)\\4a + 2b = 0\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -2, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = - 1\quad \;(2)\\\quad 2a = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(a = 1\)
Thay \(a = 1\) vào PT (2) ta được \(b = - 2\)
Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} - 2x - 1\)
Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo là một tài liệu quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Mục 2 của chuyên đề này tập trung vào các nội dung cơ bản về tập hợp, số thực, và các phép toán trên số thực. Việc nắm vững kiến thức trong mục này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Các bài tập trên trang 8 tập trung vào việc xác định các tập hợp, tìm các phần tử thuộc tập hợp, và thực hiện các phép toán trên tập hợp như hợp, giao, hiệu, và phần bù. Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa và các tính chất của tập hợp.
Trang 9 giới thiệu các khái niệm về số thực, bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ. Các bài tập trên trang này yêu cầu học sinh phân loại các số, so sánh các số thực, và thực hiện các phép toán trên số thực.
Trang 10 và 11 chứa các bài tập tổng hợp, kết hợp các kiến thức về tập hợp và số thực. Các bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tế.
| Bài tập | Nội dung |
|---|---|
| Bài 7 | Giải phương trình chứa căn thức. |
| Bài 8 | Tìm giá trị của x thỏa mãn bất đẳng thức. |
| Bài 9 | Chứng minh một biểu thức đại số. |
Để giải các bài tập trong mục 2 trang 8, 9, 10, 11 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, học sinh cần:
Việc học toán đòi hỏi sự kiên trì và nỗ lực. Hãy dành thời gian ôn tập và làm bài tập thường xuyên để nắm vững kiến thức. Nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè để được giúp đỡ. Chúc các em học tập tốt!
