Chào mừng các em học sinh đến với phần giải bài tập mục 2 trang 35, 36, 37 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo của giaibaitoan.com. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến cho các em những phương pháp học tập hiệu quả nhất.
Có thể dự đoán rằng, với mỗi \(n \in \mathbb{N}*\), \(\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}\) Hãy chứng minh các công thức trên.
Từ các đẳng thức như
\(\begin{array}{l}C_3^0 = C_3^3 = 1,\quad C_4^1 = C_4^3 = 4,\\C_3^0 + C_3^1 = C_4^1,\quad C_4^2 + C_4^3 = C_5^3,\end{array}\)
Có thể dự đoán rằng, với mỗi \(n \in \mathbb{N}*\),
\(\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}\)
Hãy chứng minh các công thức trên.
Gợi ý: Sử dụng công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}},n \in \mathbb{N},0 \le k \le n.\)
Lời giải chi tiết:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
\(\begin{array}{l}C_n^{k - 1} + C_n^k = \frac{{n!}}{{(k - 1)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\\ = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}}\left( {k + \left( {n + 1 - k} \right)} \right)\\ = \frac{{(n + 1)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}} = C_{n + 1}^k\end{array}\)
Từ các đẳng thức như
\(\begin{array}{l}C_3^0 = C_3^3 = 1,\quad C_4^1 = C_4^3 = 4,\\C_3^0 + C_3^1 = C_4^1,\quad C_4^2 + C_4^3 = C_5^3,\end{array}\)
Có thể dự đoán rằng, với mỗi \(n \in \mathbb{N}*\),
\(\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}\)
Hãy chứng minh các công thức trên.
Gợi ý: Sử dụng công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}},n \in \mathbb{N},0 \le k \le n.\)
Lời giải chi tiết:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
\(\begin{array}{l}C_n^{k - 1} + C_n^k = \frac{{n!}}{{(k - 1)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\\ = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}}\left( {k + \left( {n + 1 - k} \right)} \right)\\ = \frac{{(n + 1)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}} = C_{n + 1}^k\end{array}\)
Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:
a) \({(2x + 1)^6}\)
b) \({(x - y)^7}\)
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(2x + 1)^6} = {\left( {2x} \right)^6} + 6{\left( {2x} \right)^5} + 15{\left( {2x} \right)^4} + 20{\left( {2x} \right)^3} + 15{\left( {2x} \right)^2} + 6.2x + 1\\ = 64{x^6} + 192{x^5} + 240{x^4} + 160{x^3} + 60{x^2} + 12x + 1\end{array}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x + ( - y))^7} = {x^7} + 7{x^6}( - y) + 21{x^5}{( - y)^2} + 35{x^4}{( - y)^3} + 35{x^3}{( - y)^4} + 21{x^2}{( - y)^5} + 7x{( - y)^6} + {( - y)^7}\\ = {x^7} - 7{x^6}y + 21{x^5}{y^2} - 35{x^4}{y^3} + 35{x^3}{y^4} - 21{x^2}{y^5} + 7x{y^6} - {y^7}\end{array}\)
Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:
a) \({(2x + 1)^6}\)
b) \({(x - y)^7}\)
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(2x + 1)^6} = {\left( {2x} \right)^6} + 6{\left( {2x} \right)^5} + 15{\left( {2x} \right)^4} + 20{\left( {2x} \right)^3} + 15{\left( {2x} \right)^2} + 6.2x + 1\\ = 64{x^6} + 192{x^5} + 240{x^4} + 160{x^3} + 60{x^2} + 12x + 1\end{array}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x + ( - y))^7} = {x^7} + 7{x^6}( - y) + 21{x^5}{( - y)^2} + 35{x^4}{( - y)^3} + 35{x^3}{( - y)^4} + 21{x^2}{( - y)^5} + 7x{( - y)^6} + {( - y)^7}\\ = {x^7} - 7{x^6}y + 21{x^5}{y^2} - 35{x^4}{y^3} + 35{x^3}{y^4} - 21{x^2}{y^5} + 7x{y^6} - {y^7}\end{array}\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình. Việc giải các bài tập trong mục này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết, hiểu rõ các định nghĩa, định lý và biết cách áp dụng chúng vào thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trang 35, 36, 37, đồng thời phân tích phương pháp tiếp cận và những điểm cần lưu ý.
Trang 35 thường chứa các bài tập vận dụng kiến thức cơ bản. Ví dụ, một bài tập có thể yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức lượng giác hoặc giải một phương trình bậc hai. Để giải quyết những bài tập này, học sinh cần:
Trang 36 thường chứa các bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy logic và sáng tạo. Một bài tập có thể yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế hoặc chứng minh một bất đẳng thức. Để giải quyết những bài tập này, học sinh cần:
Trang 37 thường chứa các bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức khác nhau. Một bài tập có thể yêu cầu học sinh giải một hệ phương trình hoặc tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một hàm số. Để giải quyết những bài tập này, học sinh cần:
Trong quá trình giải bài tập, học sinh cần lưu ý một số điều sau:
Kiến thức trong mục 2 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như vật lý, hóa học, kinh tế, và kỹ thuật. Ví dụ, kiến thức về hàm số được sử dụng để mô tả các hiện tượng tự nhiên và xã hội. Kiến thức về phương trình được sử dụng để giải quyết các bài toán kỹ thuật. Do đó, việc nắm vững kiến thức trong mục 2 là rất quan trọng đối với sự phát triển của học sinh.
Để học tốt môn Toán, học sinh cần:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những thông tin hữu ích và giúp các em giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 35, 36, 37 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
