Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích từng bài tập, cung cấp phương pháp giải và đáp án chính xác.
Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (H). Các điểm \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\) có thuộc (H) không?
Viết phương trình chính tắc của Hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của Hypebol này.
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Trong đó:
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)
Lời giải chi tiết:
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là \(2a = 8\) và \(2b = 6\).
\( \Rightarrow a = 4,b = 3,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\)
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right),{B_1}\left( {0; - 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( - 5;0),{F_2}(5;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 10\)
+ Độ dài trục thực: \(2a = 8\), độ dài trục ảo: \(2b = 6\).
Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile \( \approx \) 1,6 km) và (H) có phương trình:
\(\frac{{{x^2}}}{{400}} - \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
+ Bề rộng của thảm nhiễu động là \(2\left| {{y_M}} \right|\), với \(M \in (H)\) và \({x_M} = - 40\)
+ Cao độ của máy bay: \(h = \frac{{2\left| {{y_M}} \right|}}{5}\)
Lời giải chi tiết
+ Bề rộng của thảm nhiễu động là \(2\left| {{y_M}} \right|\), với \(M \in (H)\) và \({x_M} = - 40\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{( - 40)}^2}}}{{400}} - \frac{{{y_M}^2}}{{100}} = 1 \Leftrightarrow {y_M} = \pm 10\sqrt 3 \)
+ Cao độ của máy bay: \(h = \frac{{2\left| {{y_M}} \right|}}{5} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{5} = 4\sqrt 3 \) (mile) \( \approx 4\sqrt 3 .1,6 \approx 11\) (km).
Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (H). Các điểm \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\) có thuộc (H) không?
Lời giải chi tiết:
Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
hay các điểm \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\)cũng thuộc Hypebol.
Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (H). Các điểm \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\) có thuộc (H) không?
Lời giải chi tiết:
Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
hay các điểm \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\)cũng thuộc Hypebol.
Viết phương trình chính tắc của Hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của Hypebol này.
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Trong đó:
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)
Lời giải chi tiết:
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là \(2a = 8\) và \(2b = 6\).
\( \Rightarrow a = 4,b = 3,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\)
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right),{B_1}\left( {0; - 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( - 5;0),{F_2}(5;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 10\)
+ Độ dài trục thực: \(2a = 8\), độ dài trục ảo: \(2b = 6\).
Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile \( \approx \) 1,6 km) và (H) có phương trình:
\(\frac{{{x^2}}}{{400}} - \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
+ Bề rộng của thảm nhiễu động là \(2\left| {{y_M}} \right|\), với \(M \in (H)\) và \({x_M} = - 40\)
+ Cao độ của máy bay: \(h = \frac{{2\left| {{y_M}} \right|}}{5}\)
Lời giải chi tiết
+ Bề rộng của thảm nhiễu động là \(2\left| {{y_M}} \right|\), với \(M \in (H)\) và \({x_M} = - 40\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{( - 40)}^2}}}{{400}} - \frac{{{y_M}^2}}{{100}} = 1 \Leftrightarrow {y_M} = \pm 10\sqrt 3 \)
+ Cao độ của máy bay: \(h = \frac{{2\left| {{y_M}} \right|}}{5} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{5} = 4\sqrt 3 \) (mile) \( \approx 4\sqrt 3 .1,6 \approx 11\) (km).
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào các khái niệm cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các ứng dụng của tập hợp trong giải quyết vấn đề. Việc nắm vững kiến thức nền tảng này là vô cùng quan trọng để học tốt các phần tiếp theo của chương trình.
Tập hợp là một khái niệm nền tảng trong toán học. Một tập hợp là một bộ sưu tập các đối tượng được gọi là các phần tử. Các phần tử có thể là bất kỳ đối tượng nào, chẳng hạn như số, chữ cái, hoặc thậm chí các tập hợp khác. Ký hiệu tập hợp thường được sử dụng là chữ cái in hoa, ví dụ: A, B, C,...
Có nhiều phép toán khác nhau có thể được thực hiện trên các tập hợp, bao gồm:
Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo:
Đề bài: Cho các tập hợp A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5}, C = {1, 3, 5}. Hãy xác định các tập hợp sau: A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
Giải:
Đề bài: Cho tập hợp X = {a, b, c, d}. Hãy liệt kê tất cả các tập con của X.
Giải:
Các tập con của X là: ∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}.
Đề bài: Một lớp học có 30 học sinh. Có 15 học sinh thích môn Toán, 10 học sinh thích môn Văn, và 5 học sinh thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn Toán và không thích môn Văn?
Giải:
Gọi T là tập hợp các học sinh thích môn Toán, V là tập hợp các học sinh thích môn Văn. Ta có: |T| = 15, |V| = 10, |T ∩ V| = 5. Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn là: |T ∪ V| = |T| + |V| - |T ∩ V| = 15 + 10 - 5 = 20. Vậy số học sinh không thích môn Toán và không thích môn Văn là: 30 - 20 = 10.
Để học tốt môn Toán, đặc biệt là phần tập hợp, các em cần:
Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về mục 1 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
