Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Mục 3 trang 53 là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải thích rõ ràng, giúp bạn hiểu sâu sắc về bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:\(a > 0,b > 0\) và \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} > \sqrt {{a^2}} = a \Rightarrow \frac{c}{a} > 1.\)
Tìm tâm sai của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Bước 1: Xác định a, b suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Bước 2: Tính tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Ta có: \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Ta có: \(a = 3,b = 5\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {34} \)
Vậy tâm sai của \(({H_2})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Ta có: \(a = b = \sqrt 3 \), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 6 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)
Cho hypebol (H) có tâm sai bằng \(\sqrt 2 \). Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
+ Độ dài trục thực và trục ảo: \(2a\) và \(2b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có hypebol (H) có tâm sai là \(e = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow a = b\) (do \(a > 0,b > 0\))
\( \Rightarrow 2a = 2b\) hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.
Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là \({2.10^8}\) km.
a) Lập phương trình chính tắc của (H)
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí \(M(x;y)\) của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a.\)
Lời giải chi tiết:
a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 1,2\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a = {2.10^8}\)
\( \Rightarrow a = {10^9},c = {12.10^8} \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {44.10^{16}}\)
\( \Rightarrow \) PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{10}^{18}}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{44.10}^{16}}}} = 1\)
b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} + 1,2x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} - 1,2x} \right|\)
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:\(a > 0,b > 0\) và \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} > \sqrt {{a^2}} = a \Rightarrow \frac{c}{a} > 1.\)
Tìm tâm sai của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Bước 1: Xác định a, b suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Bước 2: Tính tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Ta có: \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Ta có: \(a = 3,b = 5\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {34} \)
Vậy tâm sai của \(({H_2})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Ta có: \(a = b = \sqrt 3 \), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 6 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)
Cho hypebol (H) có tâm sai bằng \(\sqrt 2 \). Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
+ Độ dài trục thực và trục ảo: \(2a\) và \(2b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có hypebol (H) có tâm sai là \(e = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow a = b\) (do \(a > 0,b > 0\))
\( \Rightarrow 2a = 2b\) hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.
Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là \({2.10^8}\) km.
a) Lập phương trình chính tắc của (H)
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí \(M(x;y)\) của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a.\)
Lời giải chi tiết:
a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 1,2\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a = {2.10^8}\)
\( \Rightarrow a = {10^9},c = {12.10^8} \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {44.10^{16}}\)
\( \Rightarrow \) PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{10}^{18}}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{44.10}^{16}}}} = 1\)
b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} + 1,2x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} - 1,2x} \right|\)
Mục 3 trang 53 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như các ứng dụng của hàm số bậc hai, hoặc các bài toán liên quan đến vectơ trong mặt phẳng. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan là bước đầu tiên quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, hãy xác định rõ kiến thức nào được yêu cầu. Điều này bao gồm các định nghĩa, định lý, công thức và các kỹ năng đã học trong các bài trước. Ví dụ, nếu bài tập liên quan đến hàm số bậc hai, bạn cần nhớ lại các khái niệm về parabol, đỉnh, trục đối xứng, và các phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc hai.
Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Sau đó, lập kế hoạch giải bằng cách chia bài toán thành các bước nhỏ hơn. Điều này giúp bạn tiếp cận bài toán một cách có hệ thống và tránh bỏ sót các bước quan trọng.
Sử dụng các kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết từng bước trong kế hoạch giải. Hãy chú ý đến việc kiểm tra lại các kết quả trung gian để đảm bảo tính chính xác.
Sau khi hoàn thành lời giải, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo rằng nó phù hợp với yêu cầu của đề bài. Trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và dễ hiểu.
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x2 + 4x - 1.
Lời giải:
Để học tập và giải bài tập Toán 10 hiệu quả, bạn nên:
Giải mục 3 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự nắm vững kiến thức, kỹ năng và phương pháp giải bài tập. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên đây, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
