Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 Chuyên đề học tập – Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 1 trang 32, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tiết kiệm thời gian và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
a) \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\)
b) \(1 + 4 + 9 + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
c) \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1.2 = \frac{{1.(1 + 1).(1 + 2)}}{3}\)
Vậy a) đúng với \(n = 1\)
Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}\)
Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3} + (k + 1)(k + 2)\\ = (k + 1)(k + 2)\left[ {\frac{k}{3} + 1} \right]\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\end{array}\)
Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)
Vậy b) đúng với \(n = 1\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)
Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = {2^1} - 1\)
Vậy c) đúng với \(n = 1\)
Giải sử c) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} = {2^k} - 1\)
Ta chứng minh c) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k} = {2^{k + 1}} - 1\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k}\\ = {2^k} - 1 + {2^k} = {2.2^k} - 1 = {2^{k + 1}} - 1\end{array}\)
Vậy c) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp và các tính chất cơ bản của tập hợp để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng cho việc học các chương trình Toán học nâng cao hơn.
Bài 1 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Để giải bài 1 trang 32, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và tính chất sau:
Giả sử A = {1, 2, 3} và B = {2, 3, 4}. Khi đó:
Trong bài 1 trang 32, có một số dạng bài tập thường gặp như:
Để giải bài tập về tập hợp hiệu quả, bạn nên:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tập hợp, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán.
Bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản về tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải bài tập.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc bạn học tập tốt!
