Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

Chuyên đề 3 trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức là một phần quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức hình học phân tích nâng cao hơn. Nắm vững kiến thức về ba đường conic – elip, hypebol và parabol – không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn mở ra cánh cửa hiểu biết về các ứng dụng thực tế của chúng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống.

1. Giới thiệu chung về đường conic

Đường conic là tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện hình học nhất định liên quan đến một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Ba đường conic cơ bản là:

Elip: Tập hợp các điểm mà tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là một hằng số.
Hypebol: Tập hợp các điểm mà hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm là một hằng số.
Parabol: Tập hợp các điểm cách đều một tiêu điểm và một đường chuẩn.

2. Elip

Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, với F₁, F₂ là hai tiêu điểm và a là bán trục lớn.

Phương trình chính tắc: x²/a² + y²/b² = 1 (với a > b > 0)

Tính chất:

Tiêu điểm: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), với c² = a² - b²
Độ dài trục lớn: 2a
Độ dài trục nhỏ: 2b
Tâm sai: e = c/a

3. Hypebol

Định nghĩa: Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ - MF₂| = 2a, với F₁, F₂ là hai tiêu điểm và a là bán trục thực.

Phương trình chính tắc: x²/a² - y²/b² = 1

Tính chất:

Tiêu điểm: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), với c² = a² + b²
Độ dài trục thực: 2a
Độ dài trục ảo: 2b
Tâm sai: e = c/a

4. Parabol

Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng khoảng cách từ M đến đường chuẩn.

Phương trình chính tắc: y² = 2px

Tính chất:

Tiêu điểm: F(p/2; 0)
Đường chuẩn: x = -p/2
Tham số tiêu: p

5. Ứng dụng của ba đường conic

Ba đường conic có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế:

Kiến trúc: Hình dạng của các vòm cầu, mái vòm thường dựa trên đường elip hoặc parabol.
Vật lý: Quỹ đạo của các hành tinh quanh Mặt Trời có dạng elip.
Kỹ thuật: Các ăng-ten parabol được sử dụng để thu và phát sóng.
Y học: Máy lithotripter sử dụng sóng siêu âm hội tụ tại một tiêu điểm để phá vỡ sỏi thận.