Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 3.9 trang 52 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Chúng tôi sẽ trình bày các bước giải một cách rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Giaibaitoan.com là địa chỉ tin cậy dành cho học sinh, sinh viên và những người yêu thích môn Toán, cung cấp các bài giải, tài liệu học tập chất lượng cao.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:
a) (H) có nửa khung thực tế bằng 4, tiêu cự bằng 10.
b) (H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} \), một đường tiệm cận là \(y = \frac{2}{3}x\).
c) (H) có tâm sai bằng \(e = \sqrt 5 \), và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
PTCT của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Độ dài nửa trục bằng a.
+ Tiêu cự bằng \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
+ Hai đường tiệm cận \(y = \pm \frac{b}{a}x\).
+ Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\).
Lời giải chi tiết
a)
+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).
+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}} = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)
⇒PTCT của hypebol
\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)
b)
+ Tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)
+ Ta có: \(2\sqrt {13} = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)
Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)
⇒PTCT của hypebol
\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
c,
+ Tâm sai của hypebol:\(e = \frac{c}{a} = \sqrt 5 \Leftrightarrow c = a\sqrt 5 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{a^2} \Rightarrow {b^2} = 4{a^2}\)(1).
+ Hypebol đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\)nên ta có: \(\frac{{{{(\sqrt {10} )}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (2).
Thay (1) vào (2) ta có:
\(\frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{9}{{{a^2}}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2.\)
⇒PTCT của hypebol
\(\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).
+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}} = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)
⇒PTCT của hypebol: \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)
b)
+ Tiêu cự bằng\(2\sqrt {13} = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)
+ Ta có:\(2\sqrt {13} = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)
Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)
⇒PTCT của hypebol: \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
c,
Bài 3.9 thuộc Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học phẳng. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất liên quan.
Trước khi đi vào giải bài, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hình vẽ hoặc một mô tả về các điểm, đường thẳng, và các vectơ liên quan. Nhiệm vụ của học sinh là sử dụng các kiến thức đã học để tìm ra các vectơ cần tính, chứng minh các đẳng thức vectơ, hoặc giải quyết các bài toán liên quan đến hình học.
Để giải quyết các bài tập về vectơ một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho bài 3.9 trang 52, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng, và sử dụng các ký hiệu toán học chính xác. Lời giải sẽ được trình bày một cách logic và dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.)
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập vectơ, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa:
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB + MC = 0.
Lời giải:
(Lời giải hoàn chỉnh và chính xác cho ví dụ minh họa sẽ được trình bày ở đây.)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập vectơ, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán vectơ. Bằng cách nắm vững các kiến thức và phương pháp giải đã trình bày, bạn có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
