Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 Chuyên đề học tập - Kết nối tri thức. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).
Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)), tính \(M{F_1} - M{F_2},M{F_1},M{F_2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)),
\(\begin{array}{l}M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\), điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({a^2} = 36,{b^2} = 20 \Rightarrow a = 6,b = 2\sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)
Xét tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\)
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 2\) khi M trùng \({A_1}( - 6;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 10\) khi M trùng \({A_2}(6;0)\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng -2.
Phương pháp giải:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): \(M{F_1} = a + ex,\;M{F_2} = a - ex.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).
\( \Rightarrow a = 6,b = 5,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {11} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (-2; y): \(M{F_1} = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{3},\;M{F_2} = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{3}.\)
Mặt trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400 000 km và 363 000 km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Tìm tâm sai của quỹ đạo elip.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của quỹ đạo hình elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),
Giả sử Trái Đất là tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\).
Điểm M bất kì thuộc elip là vị trí của Mặt trăng trong quỹ đạo, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 363\;000\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 400\;000\)
\( \Rightarrow a = 381500,\;c = 18500\)
\( \Rightarrow \)Tâm sai của elip là: \(e = \frac{{18500}}{{381500}} = \frac{{37}}{{763}}.\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).
Với điểm M (x; y) thuộc elip, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.
Phương pháp giải:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} + cx}}{a};\;\;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} - cx}}{a}\)
\(d(M,{\Delta _1}) = \frac{{{a^2}}}{c} + x = \frac{{{a^2} + cx}}{c}\)
\(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{{a^2}}}{c} - x = \frac{{{a^2} - cx}}{c}\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{{a^2} + cx}}{a}:\frac{{{a^2} + cx}}{c} = \frac{c}{a}\) ; \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{{a^2} - cx}}{a}:\frac{{{a^2} - cx}}{c} = \frac{c}{a}\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}.\)
Với thông tin đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^6}km\) trên thực tế.
Phương pháp giải:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ trong PTCT \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(b \le OM \le a\)
\(\begin{array}{l}OM = b \Leftrightarrow M \equiv {B_1}\left( {0; - b} \right);{B_2}\left( {0;b} \right).\\OM = a \Leftrightarrow M \equiv {A_1}\left( { - a;0} \right);{A_2}\left( {a;0} \right).\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ O.
Gọi PTCT của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
M là vị trí của Trái Đất, rõ ràng \(M \in (E)\)
Vì \(b \le OM \le a\) nên \(a = {152.10^6};b = {147.10^6}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{{23104.10}^{12}}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{21609.10}^{12}}}} = 1\)
Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)), tính \(M{F_1} - M{F_2},M{F_1},M{F_2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)),
\(\begin{array}{l}M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\), điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({a^2} = 36,{b^2} = 20 \Rightarrow a = 6,b = 2\sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)
Xét tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\)
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 2\) khi M trùng \({A_1}( - 6;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 10\) khi M trùng \({A_2}(6;0)\)
Với thông tin đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^6}km\) trên thực tế.
Phương pháp giải:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ trong PTCT \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(b \le OM \le a\)
\(\begin{array}{l}OM = b \Leftrightarrow M \equiv {B_1}\left( {0; - b} \right);{B_2}\left( {0;b} \right).\\OM = a \Leftrightarrow M \equiv {A_1}\left( { - a;0} \right);{A_2}\left( {a;0} \right).\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ O.
Gọi PTCT của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
M là vị trí của Trái Đất, rõ ràng \(M \in (E)\)
Vì \(b \le OM \le a\) nên \(a = {152.10^6};b = {147.10^6}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{{23104.10}^{12}}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{21609.10}^{12}}}} = 1\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).
Với điểm M (x; y) thuộc elip, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.
Phương pháp giải:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} + cx}}{a};\;\;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} - cx}}{a}\)
\(d(M,{\Delta _1}) = \frac{{{a^2}}}{c} + x = \frac{{{a^2} + cx}}{c}\)
\(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{{a^2}}}{c} - x = \frac{{{a^2} - cx}}{c}\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{{a^2} + cx}}{a}:\frac{{{a^2} + cx}}{c} = \frac{c}{a}\) ; \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{{a^2} - cx}}{a}:\frac{{{a^2} - cx}}{c} = \frac{c}{a}\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}.\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng -2.
Phương pháp giải:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): \(M{F_1} = a + ex,\;M{F_2} = a - ex.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).
\( \Rightarrow a = 6,b = 5,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {11} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (-2; y): \(M{F_1} = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{3},\;M{F_2} = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{3}.\)
Mặt trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400 000 km và 363 000 km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Tìm tâm sai của quỹ đạo elip.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của quỹ đạo hình elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),
Giả sử Trái Đất là tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\).
Điểm M bất kì thuộc elip là vị trí của Mặt trăng trong quỹ đạo, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 363\;000\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 400\;000\)
\( \Rightarrow a = 381500,\;c = 18500\)
\( \Rightarrow \)Tâm sai của elip là: \(e = \frac{{18500}}{{381500}} = \frac{{37}}{{763}}.\)
Mục 2 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan. Việc giải các bài tập trang 42, 43, 44 là cơ hội để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, kèm theo các lưu ý quan trọng để giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về... (giả sử bài tập liên quan đến hàm số bậc hai). Để giải bài tập này, bạn cần:
Ví dụ: Cho hàm số y = x2 - 4x + 3. Ta có a = 1, b = -4, c = 3. Δ = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt...
Bài tập này có thể liên quan đến việc tìm tập xác định của hàm số. Để giải bài tập này, bạn cần:
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số y = √(x - 2). Điều kiện để hàm số có nghĩa là x - 2 ≥ 0, suy ra x ≥ 2. Vậy tập xác định của hàm số là [2, +∞).
Bài tập này có thể yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của hàm số. Để vẽ đồ thị, bạn cần:
Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số y = x2. Đỉnh của đồ thị là (0, 0). Trục đối xứng là x = 0. Giao điểm với trục hoành là (0, 0). Giao điểm với trục tung là (0, 0)...
Khi giải các bài tập Toán 10, bạn cần lưu ý những điều sau:
Để học Toán 10 hiệu quả hơn, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải các bài tập mục 2 trang 42, 43, 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao!
