Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 Chuyên đề học tập - Kết nối tri thức. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Quan sát khai triển nhị thức của ({(a + b)^n}) với (n in left{ {1;2;3;4;5} right}) ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\), ta thấy:
+ Công thức khai triển có n+1 số hạng,
+ Từ trái qua phải:
Hệ số khai triển của các số hạng lần lượt là \(C_n^0,C_n^1,...,C_n^n\).
Số mũ của a giảm dần từ n về 0.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.
=> Dự đoán \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Khai triển \({(x - 2y)^6}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng \({(a + b)^6} = C_6^0{a^6} + C_6^1{a^5}b + C_6^2{a^4}{b^2} + C_6^3{a^3}{b^3} + C_6^4{a^2}{b^4} + C_6^5a{b^5} + C_6^6{b^6}\)
Với \(a = x,b = - 2y\)
Lời giải chi tiết:
Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x - 2y)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}.2y + C_6^2{x^4}{\left( {2y} \right)^2} + C_6^3{x^3}{\left( {2y} \right)^3} + C_6^4{x^2}{\left( {2y} \right)^4} + C_6^5x{\left( {2y} \right)^5} + C_6^6{\left( {2y} \right)^6}\\ = 1.{x^6} + 6.{x^5}.2y + 15.{x^4}.4{y^2} + 20{x^3}.8{y^3} + 15{x^2}16{y^4} + 6x.32{y^5} + 1.64{y^6}\\ = {x^6} + 12{x^5}y + 60{x^4}{y^2} + 160{x^3}{y^3} + 240{x^2}{y^4} + 192x{y^5} + 64{y^6}\end{array}\)
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển thành đa thức của \({(2 - 3x)^{10}}\)
Phương pháp giải:
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)
Lời giải chi tiết:
Vì \({(2 - 3x)^{10}} = {( - 3x + 2)^{10}}\) nên
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(2 - 3x)^{10}}\) hay \({( - 3x + 2)^{10}}\)là \(C_{10}^{10 - k}{( - 3x)^k}{2^{10 - k}}\)
Số hạng chứa \({x^7}\) ứng với \(k = 7\), tức là số hạng \(C_{10}^3{( - 3x)^7}{2^3}\) hay \( - 2099520{x^7}\)
Vậy hệ số của \({x^7}\) trong khai triển của \({(2 - 3x)^{10}}\) là \( - 2099520\)
a) Viết khai triển nhị thức Newton của \({(1 + x)^n}\)
b) Cho \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
Lời giải chi tiết:
a) \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\)
b) Thay \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\)
Với \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.
=> Số tập con của tập có n phần tử là: \({2^n}\)
c) Thay \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\(\begin{array}{l}0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... + {( - 1)^n}C_n^n{x^n}\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ...\end{array}\)
Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\), ta thấy:
+ Công thức khai triển có n+1 số hạng,
+ Từ trái qua phải:
Hệ số khai triển của các số hạng lần lượt là \(C_n^0,C_n^1,...,C_n^n\).
Số mũ của a giảm dần từ n về 0.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.
=> Dự đoán \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Khai triển \({(x - 2y)^6}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng \({(a + b)^6} = C_6^0{a^6} + C_6^1{a^5}b + C_6^2{a^4}{b^2} + C_6^3{a^3}{b^3} + C_6^4{a^2}{b^4} + C_6^5a{b^5} + C_6^6{b^6}\)
Với \(a = x,b = - 2y\)
Lời giải chi tiết:
Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x - 2y)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}.2y + C_6^2{x^4}{\left( {2y} \right)^2} + C_6^3{x^3}{\left( {2y} \right)^3} + C_6^4{x^2}{\left( {2y} \right)^4} + C_6^5x{\left( {2y} \right)^5} + C_6^6{\left( {2y} \right)^6}\\ = 1.{x^6} + 6.{x^5}.2y + 15.{x^4}.4{y^2} + 20{x^3}.8{y^3} + 15{x^2}16{y^4} + 6x.32{y^5} + 1.64{y^6}\\ = {x^6} + 12{x^5}y + 60{x^4}{y^2} + 160{x^3}{y^3} + 240{x^2}{y^4} + 192x{y^5} + 64{y^6}\end{array}\)
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển thành đa thức của \({(2 - 3x)^{10}}\)
Phương pháp giải:
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)
Lời giải chi tiết:
Vì \({(2 - 3x)^{10}} = {( - 3x + 2)^{10}}\) nên
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(2 - 3x)^{10}}\) hay \({( - 3x + 2)^{10}}\)là \(C_{10}^{10 - k}{( - 3x)^k}{2^{10 - k}}\)
Số hạng chứa \({x^7}\) ứng với \(k = 7\), tức là số hạng \(C_{10}^3{( - 3x)^7}{2^3}\) hay \( - 2099520{x^7}\)
Vậy hệ số của \({x^7}\) trong khai triển của \({(2 - 3x)^{10}}\) là \( - 2099520\)
a) Viết khai triển nhị thức Newton của \({(1 + x)^n}\)
b) Cho \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
Lời giải chi tiết:
a) \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\)
b) Thay \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\)
Với \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.
=> Số tập con của tập có n phần tử là: \({2^n}\)
c) Thay \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\(\begin{array}{l}0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... + {( - 1)^n}C_n^n{x^n}\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ...\end{array}\)
Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan. Việc giải các bài tập trang 35 và 36 là bước quan trọng để củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng áp dụng vào thực tế.
Để hiểu rõ hơn về Mục 2, chúng ta cần xác định nội dung chính mà nó đề cập đến. Thông thường, đây có thể là một trong các chủ đề sau:
Các bài tập trang 35 thường tập trung vào việc vận dụng lý thuyết cơ bản để giải các bài toán đơn giản. Để giải tốt các bài tập này, bạn cần:
Các bài tập trang 36 thường có độ khó cao hơn, đòi hỏi bạn phải tư duy và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Để giải tốt các bài tập này, bạn cần:
Bài tập: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
Lời giải: Tích vô hướng của hai vectơ a và b được tính theo công thức: a ⋅ b = x1x2 + y1y2, trong đó a = (x1; y1) và b = (x2; y2).
Áp dụng công thức, ta có: a ⋅ b = (1)(-3) + (2)(4) = -3 + 8 = 5.
Để đạt hiệu quả cao nhất khi giải bài tập Toán 10, bạn cần:
Việc giải bài tập mục 2 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một phần quan trọng trong quá trình học tập môn Toán. Hy vọng rằng với những hướng dẫn và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất.
