Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 Chuyên đề học tập - Kết nối tri thức. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
Lời giải chi tiết:
Trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có \(n + 1\) số hạng.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.
c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Lời giải chi tiết:
Ta đã có hàng 6 từ Hoạt động 2 trang 33:
\(\begin{array}{l}{(a + b)^6}\quad \quad 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\{(a + b)^7}\quad \,1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\{(a + b)^7}\;\;1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\end{array}\)
Hàng 7: \(1 + 6 = 7,{\rm{ }}6 + 15 = 21,{\rm{ }}15 + 20 = 35\)
Hàng 8: \(1 + 7 = 8,{\rm{ 7}} + 21 = 28,{\rm{ 21 + 35 = 56,}}\;{\rm{35 + 35 = 70}}\)
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k.\)
Lời giải chi tiết:
a) \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}\)
\(\begin{array}{l}{(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\end{array}\)
Dễ thấy \(C_4^1 = C_4^3\) , \(C_5^2 = C_5^3\). Dự đoán \(C_n^k = C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.
Ta suy ra: \(C_1^0 + C_1^1 = C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1 = C_3^1\)
Dự đoán: \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k.\)
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hàng tương ứng của tam giác Pascal
b) Viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Lời giải chi tiết:
a) Khai triển của \({(a + b)^7}\) có dạng
\({(a + b)^7} = {a^7} + ?{a^6}b + ?{a^5}{b^2} + ?{a^4}{b^3} + ?{a^3}{b^4} + ?{a^2}{b^5} + ?a{b^6} + ?{b^7}\)
Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 7 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
\({(a + b)^7} = {a^7} + 7{a^6}b + 21{a^5}{b^2} + 35{a^4}{b^3} + 35{a^3}{b^4} + 21{a^2}{b^5} + 7a{b^6} + {b^7}\)
b) Ta viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
Với \(a = 2x,b = - 1\) ta được:
\(\begin{array}{l}{(2x - 1)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}\left( { - 1} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}{\left( { - 1} \right)^2} + 4.2x.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4}\\ = 16{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} - 8x + 1\end{array}\)
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp
Phương pháp giải:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
Tính chất đối xứng
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
Hệ thức Pascal
\(\begin{array}{l}C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\frac{1}{{n - k}} + \frac{1}{k}} \right)\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = C_n^k\end{array}\)
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
Lời giải chi tiết:
Trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có \(n + 1\) số hạng.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.
c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Lời giải chi tiết:
Ta đã có hàng 6 từ Hoạt động 2 trang 33:
\(\begin{array}{l}{(a + b)^6}\quad \quad 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\{(a + b)^7}\quad \,1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\{(a + b)^7}\;\;1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\end{array}\)
Hàng 7: \(1 + 6 = 7,{\rm{ }}6 + 15 = 21,{\rm{ }}15 + 20 = 35\)
Hàng 8: \(1 + 7 = 8,{\rm{ 7}} + 21 = 28,{\rm{ 21 + 35 = 56,}}\;{\rm{35 + 35 = 70}}\)
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hàng tương ứng của tam giác Pascal
b) Viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Lời giải chi tiết:
a) Khai triển của \({(a + b)^7}\) có dạng
\({(a + b)^7} = {a^7} + ?{a^6}b + ?{a^5}{b^2} + ?{a^4}{b^3} + ?{a^3}{b^4} + ?{a^2}{b^5} + ?a{b^6} + ?{b^7}\)
Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 7 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
\({(a + b)^7} = {a^7} + 7{a^6}b + 21{a^5}{b^2} + 35{a^4}{b^3} + 35{a^3}{b^4} + 21{a^2}{b^5} + 7a{b^6} + {b^7}\)
b) Ta viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
Với \(a = 2x,b = - 1\) ta được:
\(\begin{array}{l}{(2x - 1)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}\left( { - 1} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}{\left( { - 1} \right)^2} + 4.2x.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4}\\ = 16{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} - 8x + 1\end{array}\)
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k.\)
Lời giải chi tiết:
a) \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}\)
\(\begin{array}{l}{(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\end{array}\)
Dễ thấy \(C_4^1 = C_4^3\) , \(C_5^2 = C_5^3\). Dự đoán \(C_n^k = C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.
Ta suy ra: \(C_1^0 + C_1^1 = C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1 = C_3^1\)
Dự đoán: \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k.\)
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp
Phương pháp giải:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
Tính chất đối xứng
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
Hệ thức Pascal
\(\begin{array}{l}C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\frac{1}{{n - k}} + \frac{1}{k}} \right)\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = C_n^k\end{array}\)
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan. Việc giải các bài tập trang 32, 33, 34 là bước quan trọng để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, kèm theo các lưu ý quan trọng để giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề.
Bài 1 thường là bài tập áp dụng trực tiếp các định nghĩa và tính chất đã học. Để giải bài này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính độ dài đoạn thẳng, bạn cần sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng và thay số vào đúng vị trí.
Bài 2 có thể là bài tập chứng minh hoặc bài tập tìm kiếm điều kiện. Để giải bài này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu chứng minh hai đường thẳng song song, bạn cần sử dụng các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Bài 3 thường là bài tập tổng hợp, đòi hỏi bạn phải vận dụng kiến thức của nhiều phần khác nhau. Để giải bài này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu giải một bài toán hình học, bạn cần sử dụng các kiến thức về tam giác, đường thẳng, góc và các định lý liên quan.
Để giải bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả, bạn cần lưu ý những điều sau:
Ngoài sách giáo khoa và sách bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Việc giải bài tập mục 1 trang 32, 33, 34 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán. Hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và lưu ý quan trọng trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất.
