Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết của bài tập này ngay dưới đây!
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:
Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:
\({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh (*) \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}\) bằng PP quy nạp.
Với \(n = 1\) ta có \({2.2^1} = {1.2^{1 + 1}}\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} = k{.2^{k + 1}}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}}\\ = k{.2^{k + 1}} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (2k + 2){.2^{k + 1}}\\ = 2(k + 1){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}\end{array}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm của các cạnh trong một hình bình hành. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng AM = NC.
Lời giải:
Ngoài bài 2.19, Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức còn nhiều bài tập khác liên quan đến vectơ và ứng dụng trong hình học. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải các bài tập này, bạn cần:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, bạn đã nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc bạn học tập tốt!
Việc hiểu rõ các khái niệm và tính chất của vectơ là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn trong chương trình Toán 10 và các chương trình học nâng cao. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết và luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất.
