Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 1.3 trang 14 trong Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những phương pháp giải bài tập khoa học, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
Đề bài
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 2\\x + y = 3\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - z = 2\\x + 2y + z = 5\\ - x + y = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
e) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 7z = 2\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
f) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\5x - y - 2z = 3\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứng của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y - z = 2\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -1 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 5y = - 5\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 3 - z = - 4\) hay \(z = 1\)
Cuối cùng ta có: \(x + 1 = 3\) hay \(x = 2\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {2;1;1} \right).\)
b) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\x + 2y + z = 5\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\2y - z = 8\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\5y = 15\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 3\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \(9 + z = 7\) hay \(z = - 2\)
Cuối cùng ta có: \( - x + 3 = 2\) hay \(x = 1\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {1;3; - 2} \right).\)
c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương dạng hình thang
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{18 - 5y}}{4}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(x - 3y - \frac{{18 - 5y}}{4} = - 6 \Leftrightarrow x = \frac{{12y + 18 - 5y}}{4} - 6 = \frac{{7y - 6}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{7y - 6}}{4};y;\frac{{18 - 5y}}{4}} \right\}\)
d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 27\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình cuối, suy ra 18 = 27, điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm
e)
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - y + 31z = 23\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 2y = - 2\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 - 31z = - 25\) hay \(z = \frac{{24}}{{31}}\)
Cuối cùng ta có: \(x + 8.\frac{{24}}{{31}} = 9\) hay \(x = \frac{{87}}{{31}}\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{{87}}{{31}};1;\frac{{24}}{{31}}} \right).\)
f) Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -7 rồi cộng với 2 lần phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\13y + 16z = 16\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{16 - 13y}}{{16}}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được
\(2x - 3y - 4.\frac{{16 - 13y}}{{16}} = - 2 \Leftrightarrow 2x = 3y + \frac{{16 - 13y}}{4} - 2 = \frac{{8 - y}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{8 - y}}{4};y;\frac{{16 - 13y}}{{16}}} \right\}\)
Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp và các tính chất của chúng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các quy tắc liên quan.
Trước khi đi vào giải bài tập, hãy cùng nhau ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể ở đây, ví dụ: Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {2, 4, 5}. Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A).
Lời giải:
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập về tập hợp, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c} và B = {b, d, e}. Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
Ví dụ 2: Cho A = {1, 3, 5, 7} và B = {2, 4, 6, 8}. Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
Bài tập tương tự: (Đưa ra một vài bài tập tương tự để người đọc luyện tập)
Khi giải bài tập về tập hợp, bạn cần lưu ý một số điều sau:
Kiến thức về tập hợp có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của Toán học và các ngành khoa học khác. Ví dụ, trong lý thuyết xác suất, tập hợp được sử dụng để mô tả không gian mẫu và các biến cố. Trong khoa học máy tính, tập hợp được sử dụng để biểu diễn dữ liệu và các thuật toán.
Hy vọng rằng, với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài 1.3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình. Chúc bạn học tập tốt!
