Bài 3.23 thuộc Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và hiểu sâu hơn về kiến thức đã học. Giaibaitoan.com xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, kèm theo giải thích chi tiết để bạn có thể tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (y = a{x^2} + bx + c;(a ne 0)) là một parabol có tiêu điểm là (F(frac{{ - b}}{{2a}};frac{{1 - Delta }}{{4a}})) và đường chuẩn là (y = - frac{{1 + Delta }}{{4a}}), trong đó (Delta = {b^2} - 4ac.)
Đề bài
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\) là một parabol có tiêu điểm là \(F(\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{1 - \Delta }}{{4a}})\) và đường chuẩn là \(y = - \frac{{1 + \Delta }}{{4a}}\), trong đó \(\Delta = {b^2} - 4ac.\)
Lời giải chi tiết
Lấy \(M(x;a{x^2} + bx + c)\) bất kì thuộc đồ thị hàm số.
Để đồ thị của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\) là một parabol có tiêu điểm là \(F(\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{1 - \Delta }}{{4a}})\) và đường chuẩn là \(y = - \frac{{1 + \Delta }}{{4a}}\) thì \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1\)
Ta có: \(MF = \sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {a{x^2} + bx + c - \frac{{1 - {b^2} + 4ac}}{{4a}}} \right)}^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{F^2} = {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + {\left( {a{x^2} + bx - \frac{{1 - {b^2}}}{{4a}}} \right)^2}\\ \Rightarrow 16{a^2}M{F^2} = 4{\left( {2ax + b} \right)^2} + {\left( {4{a^2}{x^2} + 4abx - 1 + {b^2}} \right)^2}\\ = 4{\left( {2ax + b} \right)^2} + {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} - 1} \right)^2} = {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} + 1} \right)^2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} + )\;d(M,\Delta ) = \left| {a{x^2} + bx + c + \frac{{1 + {b^2} - 4ac}}{{4a}}} \right| = \left| {a{x^2} + bx + \frac{{1 + {b^2}}}{{4a}}} \right|\\ \Rightarrow {d^2}(M,\Delta ) = {\left( {a{x^2} + bx + \frac{{1 + {b^2}}}{{4a}}} \right)^2}\\ \Rightarrow 16{a^2}d(M,\Delta ) = {\left( {4{a^2}{x^2} + 4abx + 1 + {b^2}} \right)^2} = {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} + 1} \right)^2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1\) (đpcm)
Bài 3.23 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống thường xoay quanh các chủ đề về vectơ, tích vô hướng, hoặc các ứng dụng của chúng trong hình học phẳng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan.
Trước khi đi vào giải bài tập cụ thể, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức cơ bản:
Khi đối diện với bài 3.23, bước đầu tiên là đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, cần phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố này và tìm ra hướng giải phù hợp. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu chúng ta:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài 3.23, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và các công thức được sử dụng. Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu tính tích vô hướng của hai vectơ a và b, lời giải sẽ trình bày:
a.b = |a| |b| cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Sau đó, giải thích cách tính |a|, |b| và cos(θ) dựa trên thông tin đã cho trong đề bài.)
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 3.23, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa:
Ví dụ: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính tích vô hướng của a và b.
Lời giải: a.b = (1)(-3) + (2)(4) = -3 + 8 = 5
Ngoài ra, bạn có thể tham khảo một số bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng:
Vectơ và tích vô hướng không chỉ là những khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính, và nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, bạn sẽ tự tin giải bài 3.23 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!
