Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 Chuyên đề học tập - Kết nối tri thức. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
\(1 = {1^2}\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)
……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}.\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Xét đa thức \(p(n) = {n^2} - n + 41.\)
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) \(p(1) = {1^2} - 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố
\(p(2) = {2^2} - 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố
\(p(3) = {3^2} - 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố
\(p(4) = {4^2} - 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố
\(p(5) = {5^2} - 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức
\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
\(1 = {1^2}\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)
……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}.\)
Xét đa thức \(p(n) = {n^2} - n + 41.\)
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) \(p(1) = {1^2} - 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố
\(p(2) = {2^2} - 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố
\(p(3) = {3^2} - 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố
\(p(4) = {4^2} - 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố
\(p(5) = {5^2} - 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức
\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào các khái niệm cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các ứng dụng của tập hợp trong giải quyết vấn đề. Việc nắm vững kiến thức nền tảng này là vô cùng quan trọng để học tốt các phần tiếp theo của chương trình.
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về nội dung này, giaibaitoan.com xin trình bày chi tiết lời giải cho từng bài tập trong mục 1 trang 26, 27:
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các tập hợp dựa trên các điều kiện cho trước. Ví dụ, xác định tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 20, v.v. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa về tập hợp và các cách biểu diễn tập hợp.
Bài tập này yêu cầu học sinh thực hiện các phép toán trên tập hợp như hợp, giao, hiệu, phần bù. Ví dụ, cho hai tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {2, 3, 4}, hãy tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, và B \ A. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức và quy tắc về các phép toán trên tập hợp.
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về tập hợp để giải quyết các bài toán thực tế. Ví dụ, một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh thích môn Toán, 10 học sinh thích môn Văn, và 5 học sinh thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn Toán và không thích môn Văn? Để giải bài tập này, học sinh cần sử dụng sơ đồ Venn để biểu diễn các tập hợp và tìm ra đáp án.
Ví dụ 1: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B = {3, 4, 5, 6, 7}. Tìm A ∪ B.
Lời giải: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Ví dụ 2: Cho A = {a, b, c} và B = {b, c, d}. Tìm A ∩ B.
Lời giải: A ∩ B = {b, c}
Để học tốt hơn về tập hợp, các em có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về tập hợp trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
