Trắc nghiệm Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác Toán 7 Kết nối tri thức

Đặc điểm hình lăng trụ đứng tam giác

Các cạnh của hình lăng trụ đứng tam giác là: \(AB,\,\,AC,\,\,BC,\,\,{A_1}{B_1},\)\({A_1}{C_1},\,\,{B_1}{C_1},\,\,A{A_1},\,\,\,B{B_1},\,C{C_1}\)

Vậy hình lăng trụ đứng tam giác có tất cả \(9\) cạnh.

Đặc điểm hình lăng trụ đứng tam giác

Hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật.

+ Tính diện tích đáy là tam giác vuông: S_đáy = \(\frac{1}{2}\). Cạnh góc vuông . cạnh góc vuông

+ Tính thể tích: V = S_đáy . h

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:\(\dfrac{1}{2}.8.10=40 cm^3\)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là: \( 40.20= 800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ đứng là \(800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Tính tổng của thể tích hình lăng trụ và thể tích hình hộp chữ nhật.

Theọ hình vẽ, ngôi nhà gồm hai phần: một phần là lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cạnh đáy bằng \(6m\), chiều cao đáy \(1,2m\), chiều cao lăng trụ bằng \(15m\); phần còn lại là hình hộp chữ nhật có kích thước đáy là \(6m\) và \(15m\), chiều cao \(3,5m\).

Thể tích hình lăng trụ tam giác là:

\({V_1} = \frac{1}{2}.6.1,2.15 = 54{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

\({V_2} = 6.15.3,5 = 315{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian bên trong của cả ngôi nhà là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 54 + 315 = 369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian của ngôi nhà là \(369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Lập tỉ số thể tích trước và sau khi giảm độ dài cạnh đáy.

Diện tích đáy đèn là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.6\)\( = \frac{{{{18}^2}\sqrt 3 }}{4}.6 = 486\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi \(a\) và \(b\) lần lượt là độ dài cạnh đáy đèn lồng trước và sau khi giảm thể tích.

Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là các diện tích đáy tương ứng. Khi đó: \({V_1} = {S_1}.h;\,\,{V_2} = {S_2}.h\)

Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{{S_1}.h}}{{{S_2}.h}} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}\sqrt 3 .6}}{4}:\frac{{{b^2}\sqrt 3 .6}}{4} = 2\)\( \Leftrightarrow {a^2}:{b^2} = 2\)\( \Leftrightarrow a:b = \sqrt 2 \)

Vậy độ dài cạnh đáy phải giảm đi \(\sqrt 2 \) lần.

Đặc điểm lăng trụ đứng tứ giác

Hình lăng trụ đứng \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có đáy \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình thang cân, có các mặt bên là: \(AD{D_1}{A_1};\,\,AB{B_1}{A_1};\,\,DC{C_1}{D_1};\,\,BC{C_1}{B_1}\)

Vậy hình lăng trụ đứng tứ giác đáy là hình thang cân có 4 mặt bên.

+ Tính chu vi đáy là hình chữ nhật

+ Tính S_xq = chu vi đáy . chiều cao

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng là: \(\left( {8 + 3} \right).2 = 22\left( {cm} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: \({S_{xq}} = C.h = 22.2 = 44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là \(44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Từ công thức S_xq = Chu vi đáy . chiều cao suy ra chu vi đáy

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng đó là:

C = S_xq : h = 336 : 14 = 24 (cm)

Để tìm được thể tích lăng trụ đứng khi đã biết chiều cao, ta cần tính diện tích đáy.

Thể tích = diện tích đáy . chiều cao

Gọi số cạnh của một đáy là \(n\). Khi đó số cạnh bên là \(n\).

Suy ra, tổng số cạnh của hình lăng trụ đứng là \(n + n + n = 3n\).

Theo đề bài, hình lăng trụ đều có tất cả 18 cạnh, ta có: \(3n = 18 \Rightarrow n = 6.\)

Vậy hình lăng trụ đứng đã cho là hình lăng trụ lục giác đều.

Có thể coi diện tích đáy là tổng diện tích của 6 tam giác đều, mỗi cạnh bằng \(6\sqrt 3 \) cm.

Do đó diện tích đáy là: \(S = \frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4}.6 = 162\sqrt 3 \) ( cm²)

Thể tích hình lăng trụ là: \(V = S.h = 162\sqrt 3 .6\sqrt 3 \)= 2916 ( cm³)

Thể tích hình lăng trụ là 2916 ( cm³).

Sử dụng công thức diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng:

\({S_{xq}} = C.h\)

Trong đó, \(C\) là chu vi đáy; \(h\) là chiều cao

Đặt \(AD = x\left( {cm} \right)\).

Chu vi đáy của hình lăng trụ là: \(C = 2(AB + AD) = 2(10+x) (cm)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: 

\({S_{xq}} = C.h\)\( = 2.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right).6\)\( = 12.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích hai đáy của hình lăng trụ là: \(2.10x = 20x\,\,(c{m^2})\)

Theo đề bài, ta có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy nên \(12.\left( {10 + x} \right) = 20x\)

Do đó \(120 + 12x = 20x\)

Suy ra \(x = 15\,\left( {cm} \right)\)

hay \(AD = 15\left( {cm} \right)\)

Vậy kích thước còn lại của đáy bằng 15 cm.

Đặc điểm hình lăng trụ đứng tam giác

Các cạnh của hình lăng trụ đứng tam giác là: \(AB,\,\,AC,\,\,BC,\,\,{A_1}{B_1},\)\({A_1}{C_1},\,\,{B_1}{C_1},\,\,A{A_1},\,\,\,B{B_1},\,C{C_1}\)

Vậy hình lăng trụ đứng tam giác có tất cả \(9\) cạnh.

Đặc điểm hình lăng trụ đứng tam giác

Hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật.

+ Tính diện tích đáy là tam giác vuông: S_đáy = \(\frac{1}{2}\). Cạnh góc vuông . cạnh góc vuông

+ Tính thể tích: V = S_đáy . h

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:\(\dfrac{1}{2}.8.10=40 cm^3\)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là: \( 40.20= 800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ đứng là \(800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Tính tổng của thể tích hình lăng trụ và thể tích hình hộp chữ nhật.

Theọ hình vẽ, ngôi nhà gồm hai phần: một phần là lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cạnh đáy bằng \(6m\), chiều cao đáy \(1,2m\), chiều cao lăng trụ bằng \(15m\); phần còn lại là hình hộp chữ nhật có kích thước đáy là \(6m\) và \(15m\), chiều cao \(3,5m\).

Thể tích hình lăng trụ tam giác là:

\({V_1} = \frac{1}{2}.6.1,2.15 = 54{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

\({V_2} = 6.15.3,5 = 315{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian bên trong của cả ngôi nhà là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 54 + 315 = 369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian của ngôi nhà là \(369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Lập tỉ số thể tích trước và sau khi giảm độ dài cạnh đáy.

Diện tích đáy đèn là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.6\)\( = \frac{{{{18}^2}\sqrt 3 }}{4}.6 = 486\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi \(a\) và \(b\) lần lượt là độ dài cạnh đáy đèn lồng trước và sau khi giảm thể tích.

Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là các diện tích đáy tương ứng. Khi đó: \({V_1} = {S_1}.h;\,\,{V_2} = {S_2}.h\)

Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{{S_1}.h}}{{{S_2}.h}} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}\sqrt 3 .6}}{4}:\frac{{{b^2}\sqrt 3 .6}}{4} = 2\)\( \Leftrightarrow {a^2}:{b^2} = 2\)\( \Leftrightarrow a:b = \sqrt 2 \)

Vậy độ dài cạnh đáy phải giảm đi \(\sqrt 2 \) lần.

Đặc điểm lăng trụ đứng tứ giác

Hình lăng trụ đứng \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có đáy \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình thang cân, có các mặt bên là: \(AD{D_1}{A_1};\,\,AB{B_1}{A_1};\,\,DC{C_1}{D_1};\,\,BC{C_1}{B_1}\)

Vậy hình lăng trụ đứng tứ giác đáy là hình thang cân có 4 mặt bên.

+ Tính chu vi đáy là hình chữ nhật

+ Tính S_xq = chu vi đáy . chiều cao

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng là: \(\left( {8 + 3} \right).2 = 22\left( {cm} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: \({S_{xq}} = C.h = 22.2 = 44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là \(44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Từ công thức S_xq = Chu vi đáy . chiều cao suy ra chu vi đáy

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng đó là:

C = S_xq : h = 336 : 14 = 24 (cm)

Để tìm được thể tích lăng trụ đứng khi đã biết chiều cao, ta cần tính diện tích đáy.

Thể tích = diện tích đáy . chiều cao

Gọi số cạnh của một đáy là \(n\). Khi đó số cạnh bên là \(n\).

Suy ra, tổng số cạnh của hình lăng trụ đứng là \(n + n + n = 3n\).

Theo đề bài, hình lăng trụ đều có tất cả 18 cạnh, ta có: \(3n = 18 \Rightarrow n = 6.\)

Vậy hình lăng trụ đứng đã cho là hình lăng trụ lục giác đều.

Có thể coi diện tích đáy là tổng diện tích của 6 tam giác đều, mỗi cạnh bằng \(6\sqrt 3 \) cm.

Do đó diện tích đáy là: \(S = \frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4}.6 = 162\sqrt 3 \) ( cm²)

Thể tích hình lăng trụ là: \(V = S.h = 162\sqrt 3 .6\sqrt 3 \)= 2916 ( cm³)

Thể tích hình lăng trụ là 2916 ( cm³).

Sử dụng công thức diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng:

\({S_{xq}} = C.h\)

Trong đó, \(C\) là chu vi đáy; \(h\) là chiều cao

Đặt \(AD = x\left( {cm} \right)\).

Chu vi đáy của hình lăng trụ là: \(C = 2(AB + AD) = 2(10+x) (cm)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: 

\({S_{xq}} = C.h\)\( = 2.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right).6\)\( = 12.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích hai đáy của hình lăng trụ là: \(2.10x = 20x\,\,(c{m^2})\)

Theo đề bài, ta có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy nên \(12.\left( {10 + x} \right) = 20x\)

Do đó \(120 + 12x = 20x\)

Suy ra \(x = 15\,\left( {cm} \right)\)

hay \(AD = 15\left( {cm} \right)\)

Vậy kích thước còn lại của đáy bằng 15 cm.