Trắc nghiệm Bài 2: Tam giác bằng nhau Toán 7 Chân trời sáng tạo

Khi 2 tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Vì \(\Delta ABC = \Delta DEF.\)

\( \Rightarrow \) ( 2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat B = 46^\circ \)

Khi 2 tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau

Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh

Vì \(\Delta ABC = \Delta MNP.\)

\( \Rightarrow \) AB = MN, BC = NP; AC = MP

Mà AC = 6 cm, NP = 8 cm

Nên MP = 6 cm, BC = 8 cm

Chu vi của tam giác MNP bằng 22cm nên MN + NP + MP = 22 cm hay MN + 8 + 6 = 22 cm nên MN = 8 cm

Do đó, AB = MN = 8 cm

Vậy các khẳng định B,C,D là đúng; khẳng định A sai.

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Xét tam giác \(ADC\) và \(CBA\) có

\(AB = CD\)

\(AD = BC\)

\(DB\) chung

\( \Rightarrow \Delta ADC = CBA\left( {c.c.c} \right)\)

Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {BCA}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(AD//BC.\)

Tương tự ta có \(AB//DC.\)

Vậy A, B, C đúng, D sai.

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Xét tam giác DEA và tam giác CBA, ta có:

DE = CB

EA = BA

DA = CA

\( \Rightarrow \Delta DEA = \Delta CBA\) ( c.c.c)

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có

\(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)

\(MB = MC\left( {gt} \right)\)

Cạnh \(AM\) chung

Nên \(\Delta AMB = \Delta AMC\,\left( {c - c - c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) và \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ .\) Hay \(AM \bot BC.\)

Vậy B, C, D đúng, A sai.

+ Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

+ Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác, tìm góc chưa biết số đo trong tam giác.

Xét tam giác \(NAM\) và tam giác \(PAM\) có:

\(MN = MP,\) \(NA = PA,\) \(MA\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta NAM = \Delta PAM\,\left( {c - c - c} \right).\)

Nên \(\widehat {ANM} = \widehat {APM}\) ; \(\widehat {NMA} = \widehat {PMA}\) (hai góc tương ứng)

Do đó \(\widehat {NMP} = \widehat {NMA} + \widehat {PMA} = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ \)

Áp dụng định lý tổng 3 góc trong tam giác \(MNP\) có:

\(\widehat {NMP} + \widehat {MPN} + \widehat {PNM} = {180^0} \\ 2\widehat {MPN} + \widehat {NMP} = {180^0}\)

Suy ra \(\widehat {MPN} = \left( {{{180}^0} - \widehat {NMP}} \right):2 = \left( {{{180}^0} - {{40}^0}} \right):2 = {70^0}.\)

+ Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

+ Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác, tìm góc chưa biết số đo trong tam giác.

Vì \(\Delta ABC = \Delta DEF\) nên \(\widehat A = \widehat D;\,\widehat B = \widehat E = 55^\circ ;\widehat C\, = \widehat F.\) ( các góc tương ứng)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B = 130^\circ \Rightarrow \widehat A = 130^\circ - \widehat B\) \( = 130^\circ - 55^\circ = 75^\circ \)

Lại có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\) \( = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ .\)

Vậy \(\widehat A = \widehat D = 75^\circ ;\,\widehat C\, = \widehat F = 50^\circ .\)

Ta chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra hai góc tương ứng bằng nhau

Xét hai tam giác OAC và OBC có:

OA = OB (= 2cm)

OC chung

AC = BC (= 3cm)

Nên \(\Delta OAC = \Delta OBC(c.c.c)\)

Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COB}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = {50^0}\) nên \(\widehat {AOC} = \widehat {COB} = \frac{{{{50}^0}}}{2} = {25^0}\)

Vậy \(\widehat {xOC} = {25^0}\).

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xét \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)ADE, ta có:

AB = AD

BC = DE

AC = AE

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADE\) ( c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {DAE};\widehat B = \widehat D;\widehat C = \widehat E\) ( các góc tương ứng)

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xét tam giác \(AOB\) và tam giác \(COE\) có:

\(AB = CE\left( {gt} \right);AO = CO;OB = OE\)

Do đó: \(\Delta AOB = \Delta COE(c.c.c)\) suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {COE};\,\widehat {ABO} = \widehat {OEC}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Nên A, C, D sai, B đúng.

Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác

Xét tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\)(c.g.c).

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác.

Ta thấy hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có hai yếu tố về góc \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).

Để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là \(AB = MN.\)

+ Từ tính chất đường thẳng song song, tính chất tia phân giác suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác và hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba để chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau.

Ta có:

\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do Oz là tia phân giác của góc xOy)

Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)

Xét tam giác \(AOM\) và tam giác \(BOM\) có:

 \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)

 \(OM\) là cạnh chung

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM(g.c.g)\)

Do đó \(OA = OB;MA = MB\) (các cặp cạnh tương ứng).

+ Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau để suy ra các tính chất về cạnh, về góc tương ứng.

Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(AED\) có:

\(AB = AB;\) \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC}\)(hai góc đối đỉnh); \(AD = DC,\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AED = \Delta ABC\) (A đúng).

\( \Rightarrow \) \(BC = BD\) (hai cạnh tương ứng) (B đúng);

\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\)(hai góc tương ứng) (D đúng).

+ Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau ở ý trước suy ra hai góc tương ứng bằng nhau

+ Sau đó sử dụng tính chất hai góc kề bù hoặc góc ngoài để so sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)

Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có

\(OA = OB,\)

\(\widehat O\)chung,

\(OC = OD\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\) ( c.g.c)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)

Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.

Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\) 

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:

+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)

+ Cạnh \(BD\) chung

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)

Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)

Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)

Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)

Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .\)

Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)

Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được \(O\) là trung điểm của \(EF\) để tính độ dài \(EF.\)

* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có

+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)

+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)

* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có

+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)

+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \) 3 điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau rồi dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ADC\) có

+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)

 + Góc \(A\) chung

+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.

Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)

Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.

Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)

\(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\)

\( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai.

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK,\) do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.C.g).

Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).

+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.

Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)

Mà \({\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}\) (vì tam giác \(ABD\) vuông tại \(D.\))

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).

Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) (vì tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\) )

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).

Xét hai tam giác \(BDA\) và \(AEC\) có:

\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{A_2}}\); \(AB = AC\) (gt) và\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (g.c.g)

\( \Rightarrow \) \(BD = AE\) (hai cạnh tương ứng), \(CE = AD\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó \(DE = AD + AE = CE + BD.\)

Khi 2 tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Vì \(\Delta ABC = \Delta DEF.\)

\( \Rightarrow \) ( 2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat B = 46^\circ \)

Khi 2 tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau

Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh

Vì \(\Delta ABC = \Delta MNP.\)

\( \Rightarrow \) AB = MN, BC = NP; AC = MP

Mà AC = 6 cm, NP = 8 cm

Nên MP = 6 cm, BC = 8 cm

Chu vi của tam giác MNP bằng 22cm nên MN + NP + MP = 22 cm hay MN + 8 + 6 = 22 cm nên MN = 8 cm

Do đó, AB = MN = 8 cm

Vậy các khẳng định B,C,D là đúng; khẳng định A sai.

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Xét tam giác \(ADC\) và \(CBA\) có

\(AB = CD\)

\(AD = BC\)

\(DB\) chung

\( \Rightarrow \Delta ADC = CBA\left( {c.c.c} \right)\)

Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {BCA}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(AD//BC.\)

Tương tự ta có \(AB//DC.\)

Vậy A, B, C đúng, D sai.

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Xét tam giác DEA và tam giác CBA, ta có:

DE = CB

EA = BA

DA = CA

\( \Rightarrow \Delta DEA = \Delta CBA\) ( c.c.c)

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có

\(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)

\(MB = MC\left( {gt} \right)\)

Cạnh \(AM\) chung

Nên \(\Delta AMB = \Delta AMC\,\left( {c - c - c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) và \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ .\) Hay \(AM \bot BC.\)

Vậy B, C, D đúng, A sai.

+ Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

+ Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác, tìm góc chưa biết số đo trong tam giác.

Xét tam giác \(NAM\) và tam giác \(PAM\) có:

\(MN = MP,\) \(NA = PA,\) \(MA\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta NAM = \Delta PAM\,\left( {c - c - c} \right).\)

Nên \(\widehat {ANM} = \widehat {APM}\) ; \(\widehat {NMA} = \widehat {PMA}\) (hai góc tương ứng)

Do đó \(\widehat {NMP} = \widehat {NMA} + \widehat {PMA} = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ \)

Áp dụng định lý tổng 3 góc trong tam giác \(MNP\) có:

\(\widehat {NMP} + \widehat {MPN} + \widehat {PNM} = {180^0} \\ 2\widehat {MPN} + \widehat {NMP} = {180^0}\)

Suy ra \(\widehat {MPN} = \left( {{{180}^0} - \widehat {NMP}} \right):2 = \left( {{{180}^0} - {{40}^0}} \right):2 = {70^0}.\)

+ Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

+ Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác, tìm góc chưa biết số đo trong tam giác.

Vì \(\Delta ABC = \Delta DEF\) nên \(\widehat A = \widehat D;\,\widehat B = \widehat E = 55^\circ ;\widehat C\, = \widehat F.\) ( các góc tương ứng)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B = 130^\circ \Rightarrow \widehat A = 130^\circ - \widehat B\) \( = 130^\circ - 55^\circ = 75^\circ \)

Lại có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\) \( = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ .\)

Vậy \(\widehat A = \widehat D = 75^\circ ;\,\widehat C\, = \widehat F = 50^\circ .\)

Ta chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra hai góc tương ứng bằng nhau

Xét hai tam giác OAC và OBC có:

OA = OB (= 2cm)

OC chung

AC = BC (= 3cm)

Nên \(\Delta OAC = \Delta OBC(c.c.c)\)

Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COB}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = {50^0}\) nên \(\widehat {AOC} = \widehat {COB} = \frac{{{{50}^0}}}{2} = {25^0}\)

Vậy \(\widehat {xOC} = {25^0}\).

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xét \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)ADE, ta có:

AB = AD

BC = DE

AC = AE

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADE\) ( c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {DAE};\widehat B = \widehat D;\widehat C = \widehat E\) ( các góc tương ứng)

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. ( c.c.c)

Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xét tam giác \(AOB\) và tam giác \(COE\) có:

\(AB = CE\left( {gt} \right);AO = CO;OB = OE\)

Do đó: \(\Delta AOB = \Delta COE(c.c.c)\) suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {COE};\,\widehat {ABO} = \widehat {OEC}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Nên A, C, D sai, B đúng.

Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác

Xét tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\)(c.g.c).

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác.

Ta thấy hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có hai yếu tố về góc \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).

Để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là \(AB = MN.\)

+ Từ tính chất đường thẳng song song, tính chất tia phân giác suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác và hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba để chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau.

Ta có:

\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do Oz là tia phân giác của góc xOy)

Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)

Xét tam giác \(AOM\) và tam giác \(BOM\) có:

 \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)

 \(OM\) là cạnh chung

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM(g.c.g)\)

Do đó \(OA = OB;MA = MB\) (các cặp cạnh tương ứng).

+ Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau để suy ra các tính chất về cạnh, về góc tương ứng.

Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(AED\) có:

\(AB = AB;\) \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC}\)(hai góc đối đỉnh); \(AD = DC,\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AED = \Delta ABC\) (A đúng).

\( \Rightarrow \) \(BC = BD\) (hai cạnh tương ứng) (B đúng);

\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\)(hai góc tương ứng) (D đúng).

+ Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau ở ý trước suy ra hai góc tương ứng bằng nhau

+ Sau đó sử dụng tính chất hai góc kề bù hoặc góc ngoài để so sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)

Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có

\(OA = OB,\)

\(\widehat O\)chung,

\(OC = OD\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\) ( c.g.c)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)

Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.

Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\) 

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:

+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)

+ Cạnh \(BD\) chung

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)

Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)

Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)

Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)

Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .\)

Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)

Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được \(O\) là trung điểm của \(EF\) để tính độ dài \(EF.\)

* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có

+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)

+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)

* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có

+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)

+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \) 3 điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau rồi dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ADC\) có

+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)

 + Góc \(A\) chung

+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.

Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)

Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.

Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)

\(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\)

\( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai.

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK,\) do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.C.g).

Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).

+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.

Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)

Mà \({\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}\) (vì tam giác \(ABD\) vuông tại \(D.\))

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).

Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) (vì tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\) )

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).

Xét hai tam giác \(BDA\) và \(AEC\) có:

\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{A_2}}\); \(AB = AC\) (gt) và\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (g.c.g)

\( \Rightarrow \) \(BD = AE\) (hai cạnh tương ứng), \(CE = AD\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó \(DE = AD + AE = CE + BD.\)