Trắc nghiệm Bài 4: Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng và thể tích hình lăng trụ đứng để giải bài toán: \({S_{xq}} = 2\left( {a + b} \right)c,\;\;V = abc.\)

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = 2.(8 + 3).2 = 44\;c{m^2}\)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là:\(V = 8.3.2 = 48\;c{m^3}\)

- Chia hình lăng trụ đứng thành các hình hộp chữ nhật nhỏ hơn, sau đó tính thể tích từng hình hộp chữ nhật nhỏ.

- Tính được thể tích lăng trụ đứng bằng tổng thể tích các hình hộp chữ nhật nhỏ

Hình lăng trụ đứng đã cho được tạo thành từ 2 hình hộp chữ nhật. Hình hộp chữ nhật thứ nhất có kích thước là

\(3cm,\;\;1cm,\;\;2cm;\) hình hộp chữ nhật thứ hai có kích thước là \(2cm,\;\;4cm,\;\;2cm.\)

Thể tích hình hộp chữ nhật thứ nhất là: \({V_1} = 3.1.2 = 6\;c{m^3}\)

Thể tích hình hộp chữ nhật thứ hai là: \({V_2} = 2.4.2 = 16\;c{m^3}\)

Thể tích hình lăng trụ đứng là: \(V = {V_1} + {V_2} = 6 + 16 = 22\;c{m^3}\)

Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng là: $V = S.h$

Sử dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng \(V = S.h\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

Vì đáy là tam giác vuông nên diện tích đáy \(S = \dfrac{{8.10}}{2} = 40\,cm\) .

Thể tích lăng trụ đứng là \(V = S.h = 40.20 = 800\,c{m^3}\) .

+ Từ các điều kiện của đề bài tính chiều cao của lăng trụ

+ Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh lăng trụ để tính toán.

Tam giác vuông $ABB'$ có \(\widehat {BAB'} = {45^0}\) nên là tam giác vuông cân tại \(B\) nên $AB = BB' = 2cm$ .

Vì tam giác \(ABC\) đều nên chu vi đáy bằng $3AB = 3.2 = 6cm$

Diện tích xung quanh bằng $6.2 = 12\left( {c{m^2}} \right).$

Đặt $AD = x$ .

Diện tích xung quanh bằng:

$2\left( {10 + x} \right).6\left( {c{m^2}} \right)$

Tổng diện tích hai đáy bằng $2.10x\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có $2\left( {10 + x} \right).6{\rm{ }} = {\rm{ }}2.10x \Leftrightarrow 60 + 6x = 10x \Leftrightarrow x = 15$

Kích thước còn lại của đáy bằng $15cm$ .

+ Sử dụng công thức thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

+ Dùng hằng đẳng thức để biện luận theo yêu cầu đề bài.

Gọi $a$ và $b$ là các kích thước của đáy.

Ta có $V = 6ab$ nên $V$ lớn nhất \( \Leftrightarrow \) $ab$ lớn nhất

\({S_{xq}} = 120\) nên \(2\left( {a + b} \right).6 = 120\) hay \(a + b = 10\).

Ta có: \(ab = a\left( {10 - a} \right) = - {a^2} + 10a = - {\left( {a - 5} \right)^2} + 25 \le 25\).

Suy ra \(V = 6ab \le 6.25 = 150\).

Thể tích lớn nhất bằng \(150\) \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) khi \(a = b = 5\), tức là các cạnh đáy bằng $5$ cm.

Sử dụng công thức diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng:

\({S_{xq}} = C.h\)

Trong đó, \(C\) là chu vi đáy; \(h\) là chiều cao

Đặt \(AD = x\left( {cm} \right)\).

Chu vi đáy của hình lăng trụ là: \(C = 2(AB + AD) = 2(10+x) (cm)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: 

\({S_{xq}} = C.h\)\( = 2.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right).6\)\( = 12.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích hai đáy của hình lăng trụ là: \(2.10x = 20x\,\,(c{m^2})\)

Theo đề bài, ta có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy nên \(12.\left( {10 + x} \right) = 20x\)

Do đó \(120 + 12x = 20x\)

Suy ra \(x = 15\,\left( {cm} \right)\)

hay \(AD = 15\left( {cm} \right)\)

Vậy kích thước còn lại của đáy bằng 15 cm.

Để tìm được thể tích lăng trụ đứng khi đã biết chiều cao, ta cần tính diện tích đáy.

Thể tích = diện tích đáy . chiều cao

Gọi số cạnh của một đáy là \(n\). Khi đó số cạnh bên là \(n\).

Suy ra, tổng số cạnh của hình lăng trụ đứng là \(n + n + n = 3n\).

Theo đề bài, hình lăng trụ đều có tất cả 18 cạnh, ta có: \(3n = 18 \Rightarrow n = 6.\)

Vậy hình lăng trụ đứng đã cho là hình lăng trụ lục giác đều.

Có thể coi diện tích đáy là tổng diện tích của 6 tam giác đều, mỗi cạnh bằng \(6\sqrt 3 \) cm.

Do đó diện tích đáy là: \(S = \frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4}.6 = 162\sqrt 3 \) ( cm²)

Thể tích hình lăng trụ là: \(V = S.h = 162\sqrt 3 .6\sqrt 3 \)= 2916 ( cm³)

Thể tích hình lăng trụ là 2916 ( cm³).

Từ công thức S_xq = Chu vi đáy . chiều cao suy ra chu vi đáy

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng đó là:

C = S_xq : h = 336 : 14 = 24 (cm)

+ Tính chu vi đáy là hình chữ nhật

+ Tính S_xq = chu vi đáy . chiều cao

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng là: \(\left( {8 + 3} \right).2 = 22\left( {cm} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: \({S_{xq}} = C.h = 22.2 = 44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là \(44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Lập tỉ số thể tích trước và sau khi giảm độ dài cạnh đáy.

Diện tích đáy đèn là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.6\)\( = \frac{{{{18}^2}\sqrt 3 }}{4}.6 = 486\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi \(a\) và \(b\) lần lượt là độ dài cạnh đáy đèn lồng trước và sau khi giảm thể tích.

Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là các diện tích đáy tương ứng. Khi đó: \({V_1} = {S_1}.h;\,\,{V_2} = {S_2}.h\)

Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{{S_1}.h}}{{{S_2}.h}} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}\sqrt 3 .6}}{4}:\frac{{{b^2}\sqrt 3 .6}}{4} = 2\)\( \Leftrightarrow {a^2}:{b^2} = 2\)\( \Leftrightarrow a:b = \sqrt 2 \)

Vậy độ dài cạnh đáy phải giảm đi \(\sqrt 2 \) lần.

Tính tổng của thể tích hình lăng trụ và thể tích hình hộp chữ nhật.

Theọ hình vẽ, ngôi nhà gồm hai phần: một phần là lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cạnh đáy bằng \(6m\), chiều cao đáy \(1,2m\), chiều cao lăng trụ bằng \(15m\); phần còn lại là hình hộp chữ nhật có kích thước đáy là \(6m\) và \(15m\), chiều cao \(3,5m\).

Thể tích hình lăng trụ tam giác là:

\({V_1} = \frac{1}{2}.6.1,2.15 = 54{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

\({V_2} = 6.15.3,5 = 315{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian bên trong của cả ngôi nhà là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 54 + 315 = 369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian của ngôi nhà là \(369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

+ Tính diện tích đáy là tam giác vuông: S_đáy = \(\frac{1}{2}\). Cạnh góc vuông . cạnh góc vuông

+ Tính thể tích: V = S_đáy . h

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:\(\dfrac{1}{2}.8.10=40 cm^3\)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là: \( 40.20= 800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ đứng là \(800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng và thể tích hình lăng trụ đứng để giải bài toán: \({S_{xq}} = 2\left( {a + b} \right)c,\;\;V = abc.\)

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = 2.(8 + 3).2 = 44\;c{m^2}\)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là:\(V = 8.3.2 = 48\;c{m^3}\)

- Chia hình lăng trụ đứng thành các hình hộp chữ nhật nhỏ hơn, sau đó tính thể tích từng hình hộp chữ nhật nhỏ.

- Tính được thể tích lăng trụ đứng bằng tổng thể tích các hình hộp chữ nhật nhỏ

Hình lăng trụ đứng đã cho được tạo thành từ 2 hình hộp chữ nhật. Hình hộp chữ nhật thứ nhất có kích thước là

\(3cm,\;\;1cm,\;\;2cm;\) hình hộp chữ nhật thứ hai có kích thước là \(2cm,\;\;4cm,\;\;2cm.\)

Thể tích hình hộp chữ nhật thứ nhất là: \({V_1} = 3.1.2 = 6\;c{m^3}\)

Thể tích hình hộp chữ nhật thứ hai là: \({V_2} = 2.4.2 = 16\;c{m^3}\)

Thể tích hình lăng trụ đứng là: \(V = {V_1} + {V_2} = 6 + 16 = 22\;c{m^3}\)

Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng là: $V = S.h$

Sử dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng \(V = S.h\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

Vì đáy là tam giác vuông nên diện tích đáy \(S = \dfrac{{8.10}}{2} = 40\,cm\) .

Thể tích lăng trụ đứng là \(V = S.h = 40.20 = 800\,c{m^3}\) .

+ Từ các điều kiện của đề bài tính chiều cao của lăng trụ

+ Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh lăng trụ để tính toán.

Tam giác vuông $ABB'$ có \(\widehat {BAB'} = {45^0}\) nên là tam giác vuông cân tại \(B\) nên $AB = BB' = 2cm$ .

Vì tam giác \(ABC\) đều nên chu vi đáy bằng $3AB = 3.2 = 6cm$

Diện tích xung quanh bằng $6.2 = 12\left( {c{m^2}} \right).$

Đặt $AD = x$ .

Diện tích xung quanh bằng:

$2\left( {10 + x} \right).6\left( {c{m^2}} \right)$

Tổng diện tích hai đáy bằng $2.10x\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có $2\left( {10 + x} \right).6{\rm{ }} = {\rm{ }}2.10x \Leftrightarrow 60 + 6x = 10x \Leftrightarrow x = 15$

Kích thước còn lại của đáy bằng $15cm$ .

+ Sử dụng công thức thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

+ Dùng hằng đẳng thức để biện luận theo yêu cầu đề bài.

Gọi $a$ và $b$ là các kích thước của đáy.

Ta có $V = 6ab$ nên $V$ lớn nhất \( \Leftrightarrow \) $ab$ lớn nhất

\({S_{xq}} = 120\) nên \(2\left( {a + b} \right).6 = 120\) hay \(a + b = 10\).

Ta có: \(ab = a\left( {10 - a} \right) = - {a^2} + 10a = - {\left( {a - 5} \right)^2} + 25 \le 25\).

Suy ra \(V = 6ab \le 6.25 = 150\).

Thể tích lớn nhất bằng \(150\) \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) khi \(a = b = 5\), tức là các cạnh đáy bằng $5$ cm.

Sử dụng công thức diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng:

\({S_{xq}} = C.h\)

Trong đó, \(C\) là chu vi đáy; \(h\) là chiều cao

Đặt \(AD = x\left( {cm} \right)\).

Chu vi đáy của hình lăng trụ là: \(C = 2(AB + AD) = 2(10+x) (cm)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: 

\({S_{xq}} = C.h\)\( = 2.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right).6\)\( = 12.\left( {10 + {\rm{ }}x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích hai đáy của hình lăng trụ là: \(2.10x = 20x\,\,(c{m^2})\)

Theo đề bài, ta có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy nên \(12.\left( {10 + x} \right) = 20x\)

Do đó \(120 + 12x = 20x\)

Suy ra \(x = 15\,\left( {cm} \right)\)

hay \(AD = 15\left( {cm} \right)\)

Vậy kích thước còn lại của đáy bằng 15 cm.

Để tìm được thể tích lăng trụ đứng khi đã biết chiều cao, ta cần tính diện tích đáy.

Thể tích = diện tích đáy . chiều cao

Gọi số cạnh của một đáy là \(n\). Khi đó số cạnh bên là \(n\).

Suy ra, tổng số cạnh của hình lăng trụ đứng là \(n + n + n = 3n\).

Theo đề bài, hình lăng trụ đều có tất cả 18 cạnh, ta có: \(3n = 18 \Rightarrow n = 6.\)

Vậy hình lăng trụ đứng đã cho là hình lăng trụ lục giác đều.

Có thể coi diện tích đáy là tổng diện tích của 6 tam giác đều, mỗi cạnh bằng \(6\sqrt 3 \) cm.

Do đó diện tích đáy là: \(S = \frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4}.6 = 162\sqrt 3 \) ( cm²)

Thể tích hình lăng trụ là: \(V = S.h = 162\sqrt 3 .6\sqrt 3 \)= 2916 ( cm³)

Thể tích hình lăng trụ là 2916 ( cm³).

Từ công thức S_xq = Chu vi đáy . chiều cao suy ra chu vi đáy

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng đó là:

C = S_xq : h = 336 : 14 = 24 (cm)

+ Tính chu vi đáy là hình chữ nhật

+ Tính S_xq = chu vi đáy . chiều cao

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng là: \(\left( {8 + 3} \right).2 = 22\left( {cm} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: \({S_{xq}} = C.h = 22.2 = 44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là \(44\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Lập tỉ số thể tích trước và sau khi giảm độ dài cạnh đáy.

Diện tích đáy đèn là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.6\)\( = \frac{{{{18}^2}\sqrt 3 }}{4}.6 = 486\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi \(a\) và \(b\) lần lượt là độ dài cạnh đáy đèn lồng trước và sau khi giảm thể tích.

Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là các diện tích đáy tương ứng. Khi đó: \({V_1} = {S_1}.h;\,\,{V_2} = {S_2}.h\)

Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{{S_1}.h}}{{{S_2}.h}} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}\sqrt 3 .6}}{4}:\frac{{{b^2}\sqrt 3 .6}}{4} = 2\)\( \Leftrightarrow {a^2}:{b^2} = 2\)\( \Leftrightarrow a:b = \sqrt 2 \)

Vậy độ dài cạnh đáy phải giảm đi \(\sqrt 2 \) lần.

Tính tổng của thể tích hình lăng trụ và thể tích hình hộp chữ nhật.

Theọ hình vẽ, ngôi nhà gồm hai phần: một phần là lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cạnh đáy bằng \(6m\), chiều cao đáy \(1,2m\), chiều cao lăng trụ bằng \(15m\); phần còn lại là hình hộp chữ nhật có kích thước đáy là \(6m\) và \(15m\), chiều cao \(3,5m\).

Thể tích hình lăng trụ tam giác là:

\({V_1} = \frac{1}{2}.6.1,2.15 = 54{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

\({V_2} = 6.15.3,5 = 315{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian bên trong của cả ngôi nhà là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 54 + 315 = 369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian của ngôi nhà là \(369{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right)\)

+ Tính diện tích đáy là tam giác vuông: S_đáy = \(\frac{1}{2}\). Cạnh góc vuông . cạnh góc vuông

+ Tính thể tích: V = S_đáy . h

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:\(\dfrac{1}{2}.8.10=40 cm^3\)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là: \( 40.20= 800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ đứng là \(800\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).