Bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ cách biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ. Chúng ta sẽ khám phá mối liên hệ giữa phương trình đại số và hình học, từ đó dễ dàng hình dung và giải quyết các bài toán liên quan.
Với phương pháp tiếp cận trực quan và các ví dụ minh họa cụ thể, bạn sẽ nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải các bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn một cách hiệu quả.
Nếu tại \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) ta có \(a{x_0} + b{y_0} = c\) là một khẳng định đúng thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn luôn có vô số nghiệm.
Để xác định cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) không, ta thay \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) vào phương trình \(ax + by = c\):
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
- Tất cả các nghiệm của phương trình đó được biểu diễn bởi một đường thẳng.
+ Phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ \(\left( {\frac{c}{a};{y_0}} \right)\) \(\left( {{y_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_1}:x = \frac{c}{a}\). Đường thẳng \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{a}\) trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.
+ Phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};\frac{c}{b}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}:y = \frac{c}{b}\). Đường thẳng \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{b}\) trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.
+ Phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng \({d_3}:y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\).
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng tổng quát: ax + by = c, trong đó a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0. Đây là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 9, là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn về hệ phương trình và hình học phân tích.
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c đều biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Để hiểu rõ điều này, ta xét một số trường hợp:
Để vẽ đường thẳng biểu diễn phương trình ax + by = c, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Vẽ đường thẳng biểu diễn phương trình 2x + y = 4.
Chọn x = 0, ta có y = 4. Chọn y = 0, ta có x = 2. Vậy, đường thẳng đi qua hai điểm A(0, 4) và B(2, 0).
Ví dụ 2: Vẽ đường thẳng biểu diễn phương trình x - 3 = 0.
Đây là phương trình đường thẳng đứng, có dạng x = 3. Đường thẳng này song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3.
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn chính là tập hợp tất cả các điểm nằm trên đường thẳng biểu diễn phương trình đó. Do đó, việc tìm nghiệm của phương trình tương đương với việc tìm các điểm thuộc đường thẳng.
Biểu diễn hình học nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức, hãy thực hiện các bài tập sau:
Việc hiểu rõ cách biểu diễn hình học nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là rất quan trọng trong quá trình học Toán 9. Hy vọng bài học này đã giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
