Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất thỏa mãn một điều kiện cho trước. Đây là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 9, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hệ phương trình và các phương pháp giải.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các bước giải, các trường hợp có thể xảy ra và áp dụng vào các bài tập cụ thể để bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có).
+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.
+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện.
+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Bước 6: Kết luận.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Trong chương trình Toán 9, việc giải các bài toán liên quan đến hệ phương trình là một phần quan trọng. Một dạng bài thường gặp là tìm giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn một điều kiện nhất định. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách tiếp cận và giải quyết loại bài toán này.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức cơ bản:
Để tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thường thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
{ x + y = 2 x2 + y2 = 2 }
Giải:
Từ phương trình x + y = 2, ta có y = 2 - x. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x2 + (2 - x)2 = 2
x2 + 4 - 4x + x2 = 2
2x2 - 4x + 2 = 0
x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
x = 1
Suy ra y = 2 - 1 = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (1, 1).
Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0, y > 0:
{ mx + y = 1 x + my = 1 }
Giải:
Từ phương trình mx + y = 1, ta có y = 1 - mx. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x + m(1 - mx) = 1
x + m - m2x = 1
(1 - m2)x = 1 - m
Nếu 1 - m2 ≠ 0 (tức là m ≠ ±1), thì x = (1 - m) / (1 - m2) = 1 / (1 + m)
Suy ra y = 1 - mx = 1 - m / (1 + m) = 1 / (1 + m)
Để x > 0 và y > 0, ta cần 1 + m > 0, tức là m > -1.
Nếu m = 1, hệ phương trình trở thành x + y = 1 và x + y = 1, có vô số nghiệm.
Nếu m = -1, hệ phương trình trở thành -x + y = 1 và x - y = 1, vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0, y > 0 khi m > -1 và m ≠ 1.
1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
{ x - y = 1 x2 + y2 = 5 }
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = 0:
{ 2x + y = m x - y = 1 }
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước trong môn Toán 9. Chúc bạn học tốt!
