Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải quyết một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 9: tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn một điều kiện cụ thể nào đó được đưa ra trong đề bài.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các bước thực hiện, các dạng bài tập thường gặp và các ví dụ minh họa để bạn có thể nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng
\(ax + by = c\)
trong đó a, b và c là các số đã biết (\(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\)).
Nếu tại \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) ta có \(a{x_0} + b{y_0} = c\) là một khẳng định đúng thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn luôn có vô số nghiệm.
Để xác định cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) không, ta thay \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) vào phương trình \(ax + by = c\):
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
- Tất cả các nghiệm của phương trình đó được biểu diễn bởi một đường thẳng.
+ Phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ \(\left( {\frac{c}{a};{y_0}} \right)\) \(\left( {{y_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_1}:x = \frac{c}{a}\). Đường thẳng \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{a}\) trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.
+ Phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};\frac{c}{b}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}:y = \frac{c}{b}\). Đường thẳng \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{b}\) trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.
+ Phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng \({d_3}:y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\).
- Trường hợp 1: Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng: \(x = \frac{c}{a}\) suy ra đường thẳng d song song hoặc trùng với Oy (trục tung của trục toạ độ)
- Trường hợp 2: Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng: \(y = \frac{c}{b}\) suy ra đường thẳng d song song hoặc trùng với Ox (trục hoành của trục toạ độ)
- Trường hợp 3: Đường thẳng d: \(ax + by = c\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} = c\).
Trong chương trình Toán 9, việc tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn một điều kiện cho trước là một dạng bài tập thường xuyên xuất hiện. Để giải quyết dạng bài này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng, hệ số góc, và các điều kiện về vị trí tương đối giữa đường thẳng và các yếu tố khác (điểm, đường thẳng khác).
Dạng bài tập này thường yêu cầu chúng ta tìm giá trị của một hoặc nhiều tham số sao cho đường thẳng ax + by = c thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Để giải quyết các bài tập này, chúng ta thường thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để đường thẳng (m-1)x + (m+1)y = 2m + 1 đi qua điểm A(2, 1).
Giải:
Thay tọa độ điểm A(2, 1) vào phương trình đường thẳng, ta được:
(m-1)*2 + (m+1)*1 = 2m + 1
2m - 2 + m + 1 = 2m + 1
3m - 1 = 2m + 1
m = 2
Vậy, với m = 2, đường thẳng đi qua điểm A(2, 1).
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để đường thẳng 2x + (m-3)y = 5 song song với đường thẳng x - y = 2.
Giải:
Đường thẳng x - y = 2 có thể viết lại thành x - y - 2 = 0. Hệ số góc của đường thẳng này là 1.
Đường thẳng 2x + (m-3)y = 5 có thể viết lại thành 2x + (m-3)y - 5 = 0. Hệ số góc của đường thẳng này là -2/(m-3).
Để hai đường thẳng song song, hệ số góc của chúng phải bằng nhau:
-2/(m-3) = 1
-2 = m - 3
m = 1
Vậy, với m = 1, hai đường thẳng song song.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập về tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước của đề bài trong chương trình Toán 9.
