Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước - Toán 9

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định giá trị tham số của đường thẳng khi biết đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về phương trình đường thẳng và ứng dụng của nó trong giải toán.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các bước thực hiện, các công thức cần thiết và các ví dụ minh họa cụ thể để nắm vững kiến thức này.

1. Đường thẳng ax + by = c là gì?

Đường thẳng \(ax + by = c\) là tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).

2. Cách xác định các điểm mà đường thẳng đi qua

- Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax + by = c.

+ Phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\)

Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ \(\left( {\frac{c}{a};{y_0}} \right)\) \(\left( {{y_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_1}:x = \frac{c}{a}\). Đường thẳng \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{a}\) trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.

+ Phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\)

Mỗi nghiệm của phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};\frac{c}{b}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}:y = \frac{c}{b}\). Đường thẳng \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{b}\) trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.

+ Phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\)

Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng \({d_3}:y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\).

- Đường thẳng d: \(ax + by = c\) luôn đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} = c\).

3. Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Một số lưu ý để giải dạng toán này:

- Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng \(d:ax + by = c\) có dạng: \(x = \frac{c}{a}\). Khi đó d song song với Oy.

- Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng \(d:ax + by = c\) có dạng: \(y = \frac{c}{b}\). Khi đó d song song hoặc trùng với Ox.

- Đường thẳng \(d:ax + by = c\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} = c\).

Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước:

+ Bước 1: Phương trình \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}a.{x_A} + b = {y_A}\\a.{x_B} + b = {y_B}\end{array} \right.\)

+ Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được để tìm ra các hệ số của phương trình.

Chinh phục các kỳ thi Toán lớp 9 quan trọng với nội dung Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước - Toán 9 trong chuyên mục giải toán 9 trên nền tảng toán học! Bộ bài tập toán trung học cơ sở, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình sách giáo khoa hiện hành, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ củng cố vững chắc kiến thức mà còn thuần thục các dạng bài thi, tự tin đạt điểm cao, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giới thiệu chung về phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một đường thẳng được xác định duy nhất bởi một điểm và một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng là một cách biểu diễn đường thẳng thông qua một tham số t. Phương trình tham số có dạng:

x = x₀ + at
y = y₀ + bt

Trong đó:

(x₀, y₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng.
(a, b) là tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng.
t là tham số thực.

Cách xác định giá trị tham số khi đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Khi biết đường thẳng đi qua hai điểm A(x_A, y_A) và B(x_B, y_B), ta có thể xác định giá trị tham số của đường thẳng theo các bước sau:

Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB có thể được tìm bằng công thức: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A)
Chọn một điểm làm điểm gốc: Ta có thể chọn điểm A hoặc điểm B làm điểm gốc (x₀, y₀).
Viết phương trình tham số của đường thẳng: Sử dụng tọa độ điểm gốc và vectơ chỉ phương vừa tìm được, ta viết phương trình tham số của đường thẳng.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(1, 2) và B(3, 4).

Tìm vectơ chỉ phương:AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)
Chọn điểm A làm điểm gốc: (x₀, y₀) = (1, 2)
Viết phương trình tham số:
- x = 1 + 2t
- y = 2 + 2t

Ví dụ 2: Xác định phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm C(-2, 1) và D(0, -3).

Tìm vectơ chỉ phương:CD = (0 - (-2), -3 - 1) = (2, -4)
Chọn điểm C làm điểm gốc: (x₀, y₀) = (-2, 1)
Viết phương trình tham số:
- x = -2 + 2t
- y = 1 - 4t

Lưu ý quan trọng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng có thể được nhân với một số khác 0 mà vẫn chỉ ra cùng một đường thẳng.
Việc chọn điểm gốc khác nhau sẽ dẫn đến phương trình tham số khác nhau, nhưng vẫn biểu diễn cùng một đường thẳng.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay tọa độ của hai điểm A và B vào phương trình tham số để đảm bảo phương trình đúng.

Bài tập vận dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm E(0, 0) và F(1, -1).
Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm G(2, -3) và H(-1, 0).
Cho đường thẳng có phương trình tham số x = 3 + t, y = 1 - 2t. Đường thẳng này đi qua những điểm nào?

Kết luận

Việc xác định giá trị tham số của đường thẳng khi biết hai điểm là một kỹ năng cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 9. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cần thiết và giúp các em tự tin giải các bài toán liên quan đến chủ đề này. Chúc các em học tập tốt!