Bài học này sẽ hướng dẫn bạn cách xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp biểu diễn hình học. Đây là một phương pháp trực quan và dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức về hệ phương trình và ứng dụng vào giải các bài toán thực tế.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về đường thẳng biểu diễn mỗi phương trình trong hệ, và cách xác định giao điểm của hai đường thẳng đó. Giao điểm này chính là nghiệm của hệ phương trình.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Ta đã biết, mỗi nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) (*) là một nghiệm chung của hai phương trình trong (*). Nghiệm chung ấy tương ứng với điểm chung của hai đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\) và \(\Delta ':a'x + b'y = c'\), tức là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\). Do đó ta có thể giải hệ (*) bằng cách vẽ hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) rồi tìm toạ độ điểm chung của chúng. Từ đó, ta thấy chỉ có thể xảy ra 3 trường hợp:
1) \(\Delta \) và \(\Delta '\) cắt nhau (có một điểm chung). Hệ (*) có một nghiệm duy nhất.
2) \(\Delta \) và \(\Delta '\) song song với nhau (không có điểm chung). Hệ (*) vô nghiệm.
3) \(\Delta \) và \(\Delta '\) trùng nhau (mỗi điểm của \(\Delta \) đều là điểm chung). Hệ (*) có vô số nghiệm.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững phương pháp giải hệ phương trình này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
Trong đó, a, b, a', b', c, c' là các số thực và a, b, a', b' không đồng thời bằng 0.
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c đều biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Để vẽ đường thẳng này, ta cần xác định hai điểm thuộc đường thẳng. Có thể chọn x = 0 để tìm y, hoặc y = 0 để tìm x.
Ví dụ: Xét phương trình 2x + y = 4.
Nối hai điểm A và B, ta được đường thẳng biểu diễn phương trình 2x + y = 4.
Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là giá trị của x và y thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình trong hệ. Về mặt hình học, nghiệm của hệ phương trình là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình trong hệ.
Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất, hệ phương trình có một nghiệm duy nhất. Tọa độ giao điểm đó là nghiệm của hệ.
Khi hai đường thẳng song song với nhau, hệ phương trình vô nghiệm. Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của x và y thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.
Khi hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương trình có vô số nghiệm. Điều này có nghĩa là mọi điểm thuộc đường thẳng đều là nghiệm của hệ.
Xét hệ phương trình sau:
Biểu diễn hai phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
Vẽ hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (1, 2). Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 1, y = 2.
Để nắm vững kiến thức về cách xác định nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online để luyện tập.
Phương pháp biểu diễn hình học nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một công cụ hữu ích giúp bạn hiểu rõ hơn về bản chất của hệ phương trình và cách giải chúng. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững phương pháp này và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.
