Bài học này sẽ hướng dẫn bạn cách giải các bài toán thực tế bằng phương pháp lập hệ phương trình, đặc biệt là dạng toán tìm số trong chương trình Toán 9. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích đề bài, xác định ẩn số, lập hệ phương trình và giải hệ đó để tìm ra đáp án.
Nội dung bài học được trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo nhiều ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn có thể áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán tương tự.
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
Công thức cần nhớ:
+ Tổng hai số \(x,y\): \(x + y\)
+ Tổng bình phương của hai số \(x,y\): \({x^2} + {y^2}\)
+ Bình phương của tổng hai số \(x,y\): \({\left( {x + y} \right)^2}\)
+ Tổng nghịch đảo hai số \(x,y\): \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)
Lưu ý:
Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số, ba chữ số,… viết trong hệ thập phân, điều kiện của các chữ số.
- Biểu diễn các số có hai chữ số \(\overline {ab} = 10a + b\) với \(0 < a \le 9\); \(0 \le b \le 9\); \(a,b \in \mathbb{N}\).
- Biểu diễn số có ba chữ số \(\overline {abc} = 100a + 10b + c\) với \(0 < a \le 9\); \(0 \le b \le 9\); \(0 \le c \le 9\); \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.
Ta viết phương trình cần giải dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}\end{array} \right.\).
Ví dụ: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\), ta viết nó dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\).
Khi đó, ta có \({a_1} = 2\), \({b_1} = 1\), \({c_1} = 4\), \({a_2} = - 2\), \({b_2} = 1\), \({c_2} = 0\). Lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).
Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).
Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất
Bước 2. Ta nhập các hệ số \({a_1},{b_1},{c_1},{a_2},{b_2},{c_2}\) bằng cách bấm
Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).
Chú ý:
- Muốn xoá số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.
- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Trong chương trình Toán 9, việc làm quen với phương pháp lập hệ phương trình để giải quyết các bài toán thực tế là một kỹ năng quan trọng. Dạng toán tìm số là một trong những ứng dụng phổ biến của phương pháp này. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách tiếp cận và giải quyết các bài toán thuộc dạng này.
Để giải quyết các bài toán dạng này, chúng ta thường thực hiện theo các bước sau:
Có nhiều dạng toán tìm số khác nhau, nhưng một số dạng phổ biến bao gồm:
Ví dụ 1: Tìm hai số có tổng bằng 10 và tích bằng 21.
Giải:
Gọi hai số cần tìm là x và y. Ta có hệ phương trình:
x + y = 10
xy = 21
Từ phương trình x + y = 10, ta có y = 10 - x. Thay vào phương trình xy = 21, ta được:
x(10 - x) = 21
10x - x2 = 21
x2 - 10x + 21 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được x = 3 hoặc x = 7.
Nếu x = 3, thì y = 10 - 3 = 7.
Nếu x = 7, thì y = 10 - 7 = 3.
Vậy hai số cần tìm là 3 và 7.
Ví dụ 2: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 30 phút, người đó tăng vận tốc lên 50km/h và đến B muộn hơn 15 phút so với dự kiến. Tính quãng đường AB.
Giải:
Gọi quãng đường AB là x (km). Thời gian dự kiến đi từ A đến B là x/40 (giờ).
Thời gian thực tế đi từ A đến B là 30 phút (0.5 giờ) với vận tốc 40km/h, sau đó đi quãng đường còn lại (x - 40*0.5) km với vận tốc 50km/h. Tổng thời gian thực tế là (x - 20)/50 + 0.5 (giờ).
Ta có phương trình: (x - 20)/50 + 0.5 = x/40 + 15/60
Giải phương trình này, ta tìm được x = 100 (km).
Vậy quãng đường AB là 100km.
Để nắm vững kiến thức, bạn nên luyện tập thêm các bài tập sau:
Việc giải bài toán lập hệ phương trình dạng toán tìm số đòi hỏi sự hiểu biết về phương pháp lập hệ phương trình và khả năng phân tích đề bài. Bằng cách thực hành thường xuyên, bạn sẽ trở nên thành thạo hơn trong việc giải quyết các bài toán này và áp dụng kiến thức vào thực tế.
