Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm mối liên hệ giữa hai ẩn trong một hệ phương trình, sao cho mối liên hệ đó không phụ thuộc vào giá trị của tham số m. Đây là một dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong các đề thi Toán 9.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các phương pháp giải, các ví dụ minh họa cụ thể và các bài tập luyện tập để nắm vững kiến thức này.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\):
- Hê phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\).
- Hệ phương trình vô nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\).
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)+ Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất.
+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế để làm mất tham số m.
+ Bước 3: Kết luận.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Trong toán học, đặc biệt là trong việc giải hệ phương trình, việc tìm mối liên hệ giữa hai ẩn là một kỹ năng quan trọng. Khi mối liên hệ này không phụ thuộc vào tham số m, nó mang ý nghĩa đặc biệt, giúp đơn giản hóa việc giải hệ và tìm ra nghiệm một cách dễ dàng hơn. Bài viết này sẽ tập trung vào phương pháp giải quyết vấn đề này trong chương trình Toán 9.
Ví dụ 1: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m trong hệ phương trình sau:
{
Giải:
Bài 1: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m trong hệ phương trình:
{
Bài 2: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m trong hệ phương trình:
{
Việc tìm mối liên hệ giữa hai ẩn không phụ thuộc vào tham số m là một kỹ năng quan trọng trong toán học. Hy vọng rằng, thông qua bài viết này, các bạn học sinh đã nắm vững phương pháp giải và có thể áp dụng thành công vào các bài tập thực tế. Chúc các bạn học tốt!
