Bài học này sẽ hướng dẫn bạn cách xác định một điểm có thuộc đường thẳng hay không, một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 9. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các phương pháp kiểm tra, áp dụng công thức và giải các bài tập thực tế.
Nắm vững kiến thức này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Nếu tại \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) ta có \(a{x_0} + b{y_0} = c\) là một khẳng định đúng thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn luôn có vô số nghiệm.
- Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax + by = c.
+ Phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ \(\left( {\frac{c}{a};{y_0}} \right)\) \(\left( {{y_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_1}:x = \frac{c}{a}\). Đường thẳng \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{a}\) trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.
+ Phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};\frac{c}{b}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}:y = \frac{c}{b}\). Đường thẳng \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{b}\) trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.
+ Phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\)
Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng \({d_3}:y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\).
- Đường thẳng d: \(ax + by = c\) luôn đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} = c\).
Trong mặt phẳng tọa độ, một đường thẳng được xác định bởi phương trình có dạng tổng quát: ax + by + c = 0, trong đó a, b, c là các hệ số thực và a, b không đồng thời bằng 0. Một điểm M(x0; y0) được gọi là thuộc đường thẳng nếu tọa độ của điểm đó thỏa mãn phương trình của đường thẳng, tức là: ax0 + by0 + c = 0.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng 2x - y + 3 = 0. Điểm A(1; 5) có thuộc đường thẳng này không?
Giải: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng, ta có: 2(1) - 5 + 3 = 0. Vậy, điểm A thuộc đường thẳng.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương u = (1; 2) và đi qua điểm B(-1; 3). Điểm C(1; 5) có thuộc đường thẳng này không?
Giải: Ta có vectơ BC = (1 - (-1); 5 - 3) = (2; 2). Kiểm tra xem vectơ BC có cùng phương với vectơ u hay không. Ta thấy BC = 2u, vậy điểm C thuộc đường thẳng.
Ngoài các phương pháp trên, còn có một số phương pháp khác để xác định điểm thuộc đường thẳng, như sử dụng bất đẳng thức hoặc sử dụng hình học giải tích. Việc nắm vững các phương pháp này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn một cách dễ dàng.
Việc xác định các điểm mà đường thẳng đi qua là một kỹ năng cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 9. Hy vọng rằng, thông qua bài học này, bạn đã nắm vững các phương pháp và có thể áp dụng chúng để giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
