Trắc nghiệm Bài 3: So sánh phân số Toán 6 Chân trời sáng tạo

Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có cùng mẫu số dương: phân số nào có tử số nhỏ (lớn) hơn thì nhỏ (lớn) hơn.

Vì \( - 5 > - 7\) nên \(\dfrac{{ - 5}}{{13}} > \dfrac{{ - 7}}{{13}}\)

Xét tính đúng sai của từng đáp án, chú ý:

- Phân số dương luôn lớn hơn \(0\)

- Phân số âm luôn nhỏ hơn \(0\)

- Phân số có tử số và mẫu số là các số nguyên dương mà tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn \(1\), tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn \(1\)

Đáp án A: Vì \(1123 < 1125\) nên $\dfrac{{1123}}{{1125}} < 1$

\( \Rightarrow A\) sai.

Đáp án B: \(\dfrac{{ - 154}}{{ - 156}} = \dfrac{{154}}{{156}}\)

Vì \(154 < 156\) nên \(\dfrac{{154}}{{156}} < 1\) hay \(\dfrac{{ - 154}}{{ - 156}} < 1\)

\( \Rightarrow B\) đúng.

Đáp án C: \(\dfrac{{ - 123}}{{345}} < 0\) vì nó là phân số âm.

\( \Rightarrow C\) sai.

Đáp án D: \(\dfrac{{ - 657}}{{ - 324}} > 0\) vì nó là phân số dương.

\( \Rightarrow D\) sai.

Sử dụng quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu, cùng tử và tính chất bắc cầu:

- Hai phân số cùng mẫu, phân số có tử số lớn hơn (nhỏ hơn) thì lớn hơn (nhỏ hơn)

- Hai phân số cùng tử, phân số có mẫu số lớn hơn (nhỏ hơn) thì nhỏ hơn (lớn hơn)

- Tính chất bắc cầu: \(a < b;b < c \Rightarrow a < b < c\)

Ta có:

+) \(28 < 29\) nên \(\dfrac{{28}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{41}}\)

+) \(41 > 40\) nên \(\dfrac{{29}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{40}}\)

Do đó \(\dfrac{{28}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{40}}\)

- Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{5}{x}\) $(x \in N^*)$

- Viết điều kiện bài cho theo \(x\) rồi tìm \(x\) và kết luận.

Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{5}{x}\) $(x \in N^*)$

Ta có: \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{5}{x} < \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{5}{{30}} < \dfrac{5}{x} < \dfrac{5}{{20}}\) \( \Rightarrow 30 > x > 20\) hay \(x \in \left\{ {21;22;...;29} \right\}\)

Số giá trị của \(x\) là: \(\left( {29 - 21} \right):1 + 1 = 9\)

Vậy có tất cả \(9\) phân số thỏa mãn bài toán.

Rút gọn phân số

Quy đồng rồi so sánh hai phân số.

\(\dfrac{{{2^5}.7 + {2^5}}}{{{2^5}{{.5}^2} - {2^5}.3}} = \dfrac{{{2^5}.(7 + 1)}}{{{2^5}.({5^2} - 3)}}\)\( = \dfrac{{{2^5}.(7 + 1)}}{{{2^5}.(25 - 3)}} = \dfrac{{{2^5}.8}}{{{2^5}.22}} = \dfrac{8}{{22}} = \dfrac{4}{{11}}\)

\(\dfrac{{{3^4}.5 - {3^6}}}{{{3^4}.13 + {3^4}}} = \dfrac{{{3^4}.(5 - {3^2})}}{{{3^4}.(13 + 1)}}\) \( = \dfrac{{{3^4}.(5 - 9)}}{{{3^4}.14}} = \dfrac{{{3^4}.( - 4)}}{{{3^4}.14}} = \dfrac{{ - 4}}{{14}} = \dfrac{{ - 2}}{7}\)

\(MSC = 77\)

\(\dfrac{4}{{11}} = \dfrac{{4.7}}{{11.7}} = \dfrac{{28}}{{77}};\) \(\dfrac{{ - 2}}{7} = \dfrac{{ - 2.11}}{{7.11}} = \dfrac{{ - 22}}{{77}}\)

Do đó \(\dfrac{{ - 22}}{{77}} < \dfrac{{28}}{{77}} < 1\) hay \(B < A < 1\).

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

\(11 > \left( { - 22} \right)\) nên \(\dfrac{{11}}{{12}} > \dfrac{{ - 22}}{{12}}\)

\(8 > \left( { - 9} \right)\) nên \(\dfrac{8}{3} > \dfrac{{ - 9}}{3}\)

\(7 < 9\) nên \(\dfrac{7}{8} < \dfrac{9}{8}\)

\(6 > 4\) nên \(\dfrac{6}{5} > \dfrac{4}{5}\).

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

\(7 < 9\) nên \(\dfrac{7}{{23}} < \dfrac{9}{{23}}\).

Khi so sánh phân số ta có thể áp dụng tính chất bắc cầu:

Nếu \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\) và \(\dfrac{c}{d} < \dfrac{m}{n}\) thì có: \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{m}{n}\).

Ta có: \(\dfrac{{34}}{{111}} < 1\) và \(\dfrac{{198}}{{54}} > 1\)

Do vậy: \(\dfrac{{34}}{{111}} < \dfrac{{198}}{{54}}\)

Đổi về phân số có mẫu số dương rồi so sánh:

Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có cùng mẫu số dương: phân số nào có tử số nhỏ (lớn) hơn thì nhỏ (lớn) hơn.

\(\dfrac{{17}}{{ - 25}} = \dfrac{{ - 17}}{{25}}\)

Vì \( - 12 > - 17\) nên \(\dfrac{{ - 12}}{{25}} > \dfrac{{ - 17}}{{25}}\) hay \(\dfrac{{ - 12}}{{25}} > \dfrac{{17}}{{ - 25}}\)

- Rút gọn phân số (nếu cần)

- Quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh

- So sánh với phân số trung gian

Đáp án A: Ta có:

\(\dfrac{2}{{ - 3}} = \dfrac{{ - 2}}{3} = \dfrac{{ - 2.8}}{{3.8}} = \dfrac{{ - 16}}{{24}};\)\(\dfrac{{ - 7}}{8} = \dfrac{{ - 7.3}}{{8.3}} = \dfrac{{ - 21}}{{24}}\)

Vì \(\dfrac{{ - 16}}{{24}} > \dfrac{{ - 21}}{{24}}\) nên suy ra \(\dfrac{2}{{ - 3}} > \,\,\,\dfrac{{ - 7}}{8}\) nên A đúng.

Đáp án B: Ta có:

\(\dfrac{{ - 22}}{{33}} = \dfrac{{ - 22:11}}{{33:11}} = \dfrac{{ - 2}}{3};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{200}}{{ - 300}} = \dfrac{{ - 200}}{{300}} = \dfrac{{ - 200:100}}{{300:100}} = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

Vì \(\dfrac{{ - 2}}{3} = \dfrac{{ - 2}}{3}\) nên suy ra \(\dfrac{{ - 22}}{{33}} = \dfrac{{200}}{{ - 300}}\) nên B đúng.

Đáp án C: Ta có:

$ - \dfrac{2}{5} < 0\,;$$\dfrac{{196}}{{294}}\, > 0$$ \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{5} < 0 < \dfrac{{196}}{{294}}$ $ \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{5} < \,\,\,\dfrac{{196}}{{294}}$ nên C đúng.

Đáp án D: Ta có:

\(\dfrac{{39}}{{ - 65}} = \dfrac{{39:( - 13)}}{{( - 65):( - 13)}} = \dfrac{{ - 3}}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Vì \(\dfrac{{ - 3}}{5} = \dfrac{{ - 3}}{5}\) nên suy ra \(\dfrac{{ - 3}}{5} = \,\dfrac{{39}}{{ - 65}}\) nên D sai.

- Đưa tử và mẫu của \(A,B\) về dạng tích rồi rút gọn các biểu thức \(A,B\)

- Kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án rồi kết luận.

\(A = \dfrac{{25\;.\;9 - 25\;.\;17}}{{ - 8\;.\;80 - 8.10}} = \dfrac{{25.(9 - 17)}}{{ - 8.(80 + 10)}}\)\( = \dfrac{{25.( - 8)}}{{( - 8).90}} = \dfrac{{25}}{{90}} = \dfrac{5}{{18}}\)

\(B = \dfrac{{48.12 - 48.15}}{{ - 3.270 - 3.30}} = \dfrac{{48.(12 - 15)}}{{( - 3).(270 + 30)}}\) \( = \dfrac{{48.( - 3)}}{{( - 3).300}} = \dfrac{{48}}{{300}} = \dfrac{4}{{25}}\)

Vì \(A < 1\) nên loại đáp án C.

So sánh \(A\) và \(B:\)

\(MSC = 450\)

\(\dfrac{5}{{18}} = \dfrac{{5.25}}{{18.25}} = \dfrac{{125}}{{450}};\) \(\dfrac{4}{{25}} = \dfrac{{4.18}}{{25.18}} = \dfrac{{72}}{{450}}\)

Vì \(125 > 72\) nên \(\dfrac{{125}}{{450}} > \dfrac{{72}}{{450}}\) hay \(\dfrac{5}{{18}} > \dfrac{4}{{25}}\)

Vậy \(A > B\)

Quy đồng mẫu số chung của \(4\) phân số đã cho, từ đó tìm \(x,y\) thích hợp.

\(MSC:36\)

Khi đó:

\(\dfrac{1}{{18}} < \dfrac{x}{{12}} < \dfrac{y}{9} < \dfrac{1}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{{36}} < \dfrac{{x.3}}{{36}} < \dfrac{{y.4}}{{36}} < \dfrac{9}{{36}}\)

\( \Rightarrow 2 < x.3 < y.4 < 9\)

Mà \(\left( {x.3} \right) \vdots 3\) và \(\left( {y.4} \right) \vdots 4\) nên \(x.3 \in \left\{ {3;6} \right\}\) và \(y.4 \in \left\{ {4;8} \right\}\)

Mà \(x.3 < y.4\) nên:

+ Nếu \(x.3 = 3\) thì \(y.4 = 4\) hoặc \(y.4 = 8\)

Hay nếu \(x = 1\) thì \(y = 1\) hoặc \(y = 2\)

+ Nếu \(x.3 = 6\) thì \(y.4 = 8\)

Hay nếu \(x = 2\) thì \(y = 2\)

Vậy các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;2} \right)\)

- Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{a}{{13}}\left( {a \in Z} \right)\)

- Viết biểu thức chứa \(a\) theo yêu cầu của bài và tìm \(a\) rồi kết luận.

Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{a}{{13}}\left( {a \in Z} \right)\)

Theo yêu cầu bài toán:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{13}} = \dfrac{{a + \left( { - 20} \right)}}{{13.5}}\\\dfrac{{a.5}}{{13.5}} = \dfrac{{a + \left( { - 20} \right)}}{{13.5}}\\a.5 = a + \left( { - 20} \right)\\a.5 - a = - 20\\a.4 = - 20\\a = \left( { - 20} \right):4\\a = - 5\end{array}\)

Vậy phân số cần tìm là \(\dfrac{{ - 5}}{{13}}\)

Rút gọn A.

Tách phân số B và C thành tổng của một số nguyên và một phân số nhỏ hơn 1

=> So sánh A, B, C.

\(A = \dfrac{{3535.232323}}{{353535.2323}} = \dfrac{{\left( {35.101} \right).\left( {23.10101} \right)}}{{\left( {35.10101} \right).\left( {23.101} \right)}} = 1\)

\(B = \dfrac{{3535}}{{3534}} = \dfrac{{3534 + 1}}{{3534}} = \dfrac{{3534}}{{3534}} + \dfrac{1}{{3534}} = 1 + \dfrac{1}{{3534}}\)

\(C = \dfrac{{2323}}{{2322}} = \dfrac{{2322 + 1}}{{2322}} = \dfrac{{2322}}{{2322}} + \dfrac{1}{{2322}} = 1 + \dfrac{1}{{2322}}\)

Vì \(\dfrac{1}{{3534}} < \dfrac{1}{{2322}}\) nên \(B < C\)

Mà \(B > 1\) nên \(B > A\)

Vậy \(A < B < C\)

Sử dụng tính chất so sánh: Nếu \(\dfrac{a}{b} < 1\) thì \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + m}}{{b + m}}\)

Dễ thấy \(A < 1\) nên:

\(A = \dfrac{{{{2018}^{2018}} + 1}}{{{{2018}^{2019}} + 1}} < \dfrac{{\left( {{{2018}^{2018}} + 1} \right) + 2017}}{{\left( {{{2018}^{2019}} + 1} \right) + 2017}}\)\( = \dfrac{{{{2018}^{2018}} + 2018}}{{{{2018}^{2019}} + 2018}} = \dfrac{{2018.\left( {{{2018}^{2017}} + 1} \right)}}{{2018.\left( {{{2018}^{2018}} + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{{{2018}^{2017}} + 1}}{{{{2018}^{2018}} + 1}} = B\)

Vậy \(A < B\)

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh tử với nhau: Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ta có:

\(\dfrac{{10}}{{11}} = \dfrac{{50}}{{55}}\) và \(\dfrac{{14}}{5} = \dfrac{{154}}{{55}}\). Vì \(\dfrac{{50}}{{55}} < \dfrac{{154}}{{55}}\) nên \(\dfrac{{10}}{{11}} < \dfrac{{14}}{5}\)

\(\dfrac{8}{{13}} = \dfrac{{16}}{{26}}\) và \(\dfrac{5}{2} = \dfrac{{65}}{{26}}\). Vì \(\dfrac{{16}}{{26}} < \dfrac{{65}}{{26}}\) nên \(\dfrac{8}{{13}} < \dfrac{5}{2}\)

\(\dfrac{7}{5} = \dfrac{{56}}{{40}}\) và \(\dfrac{7}{8} = \dfrac{{35}}{{40}}\). Vì \(\dfrac{{56}}{{40}} > \dfrac{{35}}{{40}}\) nên \(\dfrac{7}{5} > \dfrac{7}{8}\)

\(\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{{15}}\) và \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{{10}}{{15}}\). Vì \(\dfrac{3}{{15}} < \dfrac{{10}}{{15}}\) nên \(\dfrac{1}{5} < \dfrac{2}{3}\).

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

\(6 < 7 < 8\) nên \(\dfrac{6}{7} < \dfrac{7}{7} < \dfrac{8}{7}\)

\(9 < 13 < 18\) nên \(\dfrac{9}{{22}} < \dfrac{{13}}{{22}} < \dfrac{{18}}{{22}}\).

\(4 < 7 < 8\) nên \(\dfrac{4}{{15}} < \dfrac{7}{{15}} < \dfrac{8}{{15}}\)

\(4 < 5 < 7\) nên \(\dfrac{4}{{11}} < \dfrac{5}{{11}} < \dfrac{7}{{11}}\)

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ta có: \(1 = \dfrac{{19}}{{19}}\)

\(17 < 18 < 19\) nên \(\dfrac{{17}}{{19}} < \dfrac{{18}}{{19}} < \dfrac{{19}}{{19}}\) hay \(\dfrac{{17}}{{19}} < \dfrac{{18}}{{19}} < 1\)

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh tử với nhau: Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Chiều cao trung bình của các học sinh ở lớp 6A là: \(\dfrac{{525}}{{35}}\)

Chiều cao trung bình của các học sinh ở lớp 6B là: \(\dfrac{{456}}{{30}}\)

Ta có:

\(\dfrac{{525}}{{35}} = 15 = \dfrac{{75}}{5}\) và \(\dfrac{{456}}{{30}} = \dfrac{{76}}{5}\)

Vì \(\dfrac{{75}}{5} < \dfrac{{76}}{5}\) nên \(\dfrac{{525}}{{35}} < \dfrac{{456}}{{30}}\)

Vậy chiều cao trung bình của các học sinh lớp 6B lớn hơn lớp 6A.

So sánh các phân số với \(1;\,\,2\)

Quy đồng mẫu số để so sánh các phân số nhỏ hơn \(1\).

Ta có: các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là các phân số nhỏ hơn \(1\) là: \(\dfrac{1}{4};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2}\)

Quy đồng chung mẫu số các phân số này, ta được: \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{{12}}\);\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{12}}\); \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{{12}}\)

 Nhận thấy: \(\dfrac{3}{{12}} < \dfrac{6}{{12}} < \dfrac{8}{{12}}\) suy ra \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\)

Các phân số lớn hơn , nhỏ hơn là 

Phân số lớn hơn \(1\) nhỏ hơn \(2\) là: \(\dfrac{4}{3}\)

Phân số lớn hơn \(2\) là: \(\dfrac{5}{2}\)

Như vậy, sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần là:

\(\dfrac{5}{2} > \dfrac{4}{3} > \dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}\).

So sánh các phân số từ đó suy ra môn được yêu thích nhất.

Ta có:

\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{{14}}{{35}};\,\,\dfrac{4}{7} = \dfrac{{20}}{{35}}\)

\(\dfrac{9}{{35}} < \dfrac{{14}}{{35}} < \dfrac{{20}}{{35}}\)

\(\dfrac{9}{{35}} < \dfrac{2}{5} < \dfrac{4}{7}\)

Vậy môn bóng đá được các bạn lớp 6A yêu thích nhất.

Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có cùng mẫu số dương: phân số nào có tử số nhỏ (lớn) hơn thì nhỏ (lớn) hơn.

Vì \( - 5 > - 7\) nên \(\dfrac{{ - 5}}{{13}} > \dfrac{{ - 7}}{{13}}\)

Xét tính đúng sai của từng đáp án, chú ý:

- Phân số dương luôn lớn hơn \(0\)

- Phân số âm luôn nhỏ hơn \(0\)

- Phân số có tử số và mẫu số là các số nguyên dương mà tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn \(1\), tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn \(1\)

Đáp án A: Vì \(1123 < 1125\) nên $\dfrac{{1123}}{{1125}} < 1$

\( \Rightarrow A\) sai.

Đáp án B: \(\dfrac{{ - 154}}{{ - 156}} = \dfrac{{154}}{{156}}\)

Vì \(154 < 156\) nên \(\dfrac{{154}}{{156}} < 1\) hay \(\dfrac{{ - 154}}{{ - 156}} < 1\)

\( \Rightarrow B\) đúng.

Đáp án C: \(\dfrac{{ - 123}}{{345}} < 0\) vì nó là phân số âm.

\( \Rightarrow C\) sai.

Đáp án D: \(\dfrac{{ - 657}}{{ - 324}} > 0\) vì nó là phân số dương.

\( \Rightarrow D\) sai.

Sử dụng quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu, cùng tử và tính chất bắc cầu:

- Hai phân số cùng mẫu, phân số có tử số lớn hơn (nhỏ hơn) thì lớn hơn (nhỏ hơn)

- Hai phân số cùng tử, phân số có mẫu số lớn hơn (nhỏ hơn) thì nhỏ hơn (lớn hơn)

- Tính chất bắc cầu: \(a < b;b < c \Rightarrow a < b < c\)

Ta có:

+) \(28 < 29\) nên \(\dfrac{{28}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{41}}\)

+) \(41 > 40\) nên \(\dfrac{{29}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{40}}\)

Do đó \(\dfrac{{28}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{41}} < \dfrac{{29}}{{40}}\)

- Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{5}{x}\) $(x \in N^*)$

- Viết điều kiện bài cho theo \(x\) rồi tìm \(x\) và kết luận.

Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{5}{x}\) $(x \in N^*)$

Ta có: \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{5}{x} < \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{5}{{30}} < \dfrac{5}{x} < \dfrac{5}{{20}}\) \( \Rightarrow 30 > x > 20\) hay \(x \in \left\{ {21;22;...;29} \right\}\)

Số giá trị của \(x\) là: \(\left( {29 - 21} \right):1 + 1 = 9\)

Vậy có tất cả \(9\) phân số thỏa mãn bài toán.

Rút gọn phân số

Quy đồng rồi so sánh hai phân số.

\(\dfrac{{{2^5}.7 + {2^5}}}{{{2^5}{{.5}^2} - {2^5}.3}} = \dfrac{{{2^5}.(7 + 1)}}{{{2^5}.({5^2} - 3)}}\)\( = \dfrac{{{2^5}.(7 + 1)}}{{{2^5}.(25 - 3)}} = \dfrac{{{2^5}.8}}{{{2^5}.22}} = \dfrac{8}{{22}} = \dfrac{4}{{11}}\)

\(\dfrac{{{3^4}.5 - {3^6}}}{{{3^4}.13 + {3^4}}} = \dfrac{{{3^4}.(5 - {3^2})}}{{{3^4}.(13 + 1)}}\) \( = \dfrac{{{3^4}.(5 - 9)}}{{{3^4}.14}} = \dfrac{{{3^4}.( - 4)}}{{{3^4}.14}} = \dfrac{{ - 4}}{{14}} = \dfrac{{ - 2}}{7}\)

\(MSC = 77\)

\(\dfrac{4}{{11}} = \dfrac{{4.7}}{{11.7}} = \dfrac{{28}}{{77}};\) \(\dfrac{{ - 2}}{7} = \dfrac{{ - 2.11}}{{7.11}} = \dfrac{{ - 22}}{{77}}\)

Do đó \(\dfrac{{ - 22}}{{77}} < \dfrac{{28}}{{77}} < 1\) hay \(B < A < 1\).

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

\(11 > \left( { - 22} \right)\) nên \(\dfrac{{11}}{{12}} > \dfrac{{ - 22}}{{12}}\)

\(8 > \left( { - 9} \right)\) nên \(\dfrac{8}{3} > \dfrac{{ - 9}}{3}\)

\(7 < 9\) nên \(\dfrac{7}{8} < \dfrac{9}{8}\)

\(6 > 4\) nên \(\dfrac{6}{5} > \dfrac{4}{5}\).

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

\(7 < 9\) nên \(\dfrac{7}{{23}} < \dfrac{9}{{23}}\).

Khi so sánh phân số ta có thể áp dụng tính chất bắc cầu:

Nếu \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\) và \(\dfrac{c}{d} < \dfrac{m}{n}\) thì có: \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{m}{n}\).

Ta có: \(\dfrac{{34}}{{111}} < 1\) và \(\dfrac{{198}}{{54}} > 1\)

Do vậy: \(\dfrac{{34}}{{111}} < \dfrac{{198}}{{54}}\)

Đổi về phân số có mẫu số dương rồi so sánh:

Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có cùng mẫu số dương: phân số nào có tử số nhỏ (lớn) hơn thì nhỏ (lớn) hơn.

\(\dfrac{{17}}{{ - 25}} = \dfrac{{ - 17}}{{25}}\)

Vì \( - 12 > - 17\) nên \(\dfrac{{ - 12}}{{25}} > \dfrac{{ - 17}}{{25}}\) hay \(\dfrac{{ - 12}}{{25}} > \dfrac{{17}}{{ - 25}}\)

- Rút gọn phân số (nếu cần)

- Quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh

- So sánh với phân số trung gian

Đáp án A: Ta có:

\(\dfrac{2}{{ - 3}} = \dfrac{{ - 2}}{3} = \dfrac{{ - 2.8}}{{3.8}} = \dfrac{{ - 16}}{{24}};\)\(\dfrac{{ - 7}}{8} = \dfrac{{ - 7.3}}{{8.3}} = \dfrac{{ - 21}}{{24}}\)

Vì \(\dfrac{{ - 16}}{{24}} > \dfrac{{ - 21}}{{24}}\) nên suy ra \(\dfrac{2}{{ - 3}} > \,\,\,\dfrac{{ - 7}}{8}\) nên A đúng.

Đáp án B: Ta có:

\(\dfrac{{ - 22}}{{33}} = \dfrac{{ - 22:11}}{{33:11}} = \dfrac{{ - 2}}{3};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{200}}{{ - 300}} = \dfrac{{ - 200}}{{300}} = \dfrac{{ - 200:100}}{{300:100}} = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

Vì \(\dfrac{{ - 2}}{3} = \dfrac{{ - 2}}{3}\) nên suy ra \(\dfrac{{ - 22}}{{33}} = \dfrac{{200}}{{ - 300}}\) nên B đúng.

Đáp án C: Ta có:

$ - \dfrac{2}{5} < 0\,;$$\dfrac{{196}}{{294}}\, > 0$$ \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{5} < 0 < \dfrac{{196}}{{294}}$ $ \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{5} < \,\,\,\dfrac{{196}}{{294}}$ nên C đúng.

Đáp án D: Ta có:

\(\dfrac{{39}}{{ - 65}} = \dfrac{{39:( - 13)}}{{( - 65):( - 13)}} = \dfrac{{ - 3}}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Vì \(\dfrac{{ - 3}}{5} = \dfrac{{ - 3}}{5}\) nên suy ra \(\dfrac{{ - 3}}{5} = \,\dfrac{{39}}{{ - 65}}\) nên D sai.

- Đưa tử và mẫu của \(A,B\) về dạng tích rồi rút gọn các biểu thức \(A,B\)

- Kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án rồi kết luận.

\(A = \dfrac{{25\;.\;9 - 25\;.\;17}}{{ - 8\;.\;80 - 8.10}} = \dfrac{{25.(9 - 17)}}{{ - 8.(80 + 10)}}\)\( = \dfrac{{25.( - 8)}}{{( - 8).90}} = \dfrac{{25}}{{90}} = \dfrac{5}{{18}}\)

\(B = \dfrac{{48.12 - 48.15}}{{ - 3.270 - 3.30}} = \dfrac{{48.(12 - 15)}}{{( - 3).(270 + 30)}}\) \( = \dfrac{{48.( - 3)}}{{( - 3).300}} = \dfrac{{48}}{{300}} = \dfrac{4}{{25}}\)

Vì \(A < 1\) nên loại đáp án C.

So sánh \(A\) và \(B:\)

\(MSC = 450\)

\(\dfrac{5}{{18}} = \dfrac{{5.25}}{{18.25}} = \dfrac{{125}}{{450}};\) \(\dfrac{4}{{25}} = \dfrac{{4.18}}{{25.18}} = \dfrac{{72}}{{450}}\)

Vì \(125 > 72\) nên \(\dfrac{{125}}{{450}} > \dfrac{{72}}{{450}}\) hay \(\dfrac{5}{{18}} > \dfrac{4}{{25}}\)

Vậy \(A > B\)

Quy đồng mẫu số chung của \(4\) phân số đã cho, từ đó tìm \(x,y\) thích hợp.

\(MSC:36\)

Khi đó:

\(\dfrac{1}{{18}} < \dfrac{x}{{12}} < \dfrac{y}{9} < \dfrac{1}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{{36}} < \dfrac{{x.3}}{{36}} < \dfrac{{y.4}}{{36}} < \dfrac{9}{{36}}\)

\( \Rightarrow 2 < x.3 < y.4 < 9\)

Mà \(\left( {x.3} \right) \vdots 3\) và \(\left( {y.4} \right) \vdots 4\) nên \(x.3 \in \left\{ {3;6} \right\}\) và \(y.4 \in \left\{ {4;8} \right\}\)

Mà \(x.3 < y.4\) nên:

+ Nếu \(x.3 = 3\) thì \(y.4 = 4\) hoặc \(y.4 = 8\)

Hay nếu \(x = 1\) thì \(y = 1\) hoặc \(y = 2\)

+ Nếu \(x.3 = 6\) thì \(y.4 = 8\)

Hay nếu \(x = 2\) thì \(y = 2\)

Vậy các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;2} \right)\)

- Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{a}{{13}}\left( {a \in Z} \right)\)

- Viết biểu thức chứa \(a\) theo yêu cầu của bài và tìm \(a\) rồi kết luận.

Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{a}{{13}}\left( {a \in Z} \right)\)

Theo yêu cầu bài toán:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{13}} = \dfrac{{a + \left( { - 20} \right)}}{{13.5}}\\\dfrac{{a.5}}{{13.5}} = \dfrac{{a + \left( { - 20} \right)}}{{13.5}}\\a.5 = a + \left( { - 20} \right)\\a.5 - a = - 20\\a.4 = - 20\\a = \left( { - 20} \right):4\\a = - 5\end{array}\)

Vậy phân số cần tìm là \(\dfrac{{ - 5}}{{13}}\)

Rút gọn A.

Tách phân số B và C thành tổng của một số nguyên và một phân số nhỏ hơn 1

=> So sánh A, B, C.

\(A = \dfrac{{3535.232323}}{{353535.2323}} = \dfrac{{\left( {35.101} \right).\left( {23.10101} \right)}}{{\left( {35.10101} \right).\left( {23.101} \right)}} = 1\)

\(B = \dfrac{{3535}}{{3534}} = \dfrac{{3534 + 1}}{{3534}} = \dfrac{{3534}}{{3534}} + \dfrac{1}{{3534}} = 1 + \dfrac{1}{{3534}}\)

\(C = \dfrac{{2323}}{{2322}} = \dfrac{{2322 + 1}}{{2322}} = \dfrac{{2322}}{{2322}} + \dfrac{1}{{2322}} = 1 + \dfrac{1}{{2322}}\)

Vì \(\dfrac{1}{{3534}} < \dfrac{1}{{2322}}\) nên \(B < C\)

Mà \(B > 1\) nên \(B > A\)

Vậy \(A < B < C\)

Sử dụng tính chất so sánh: Nếu \(\dfrac{a}{b} < 1\) thì \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + m}}{{b + m}}\)

Dễ thấy \(A < 1\) nên:

\(A = \dfrac{{{{2018}^{2018}} + 1}}{{{{2018}^{2019}} + 1}} < \dfrac{{\left( {{{2018}^{2018}} + 1} \right) + 2017}}{{\left( {{{2018}^{2019}} + 1} \right) + 2017}}\)\( = \dfrac{{{{2018}^{2018}} + 2018}}{{{{2018}^{2019}} + 2018}} = \dfrac{{2018.\left( {{{2018}^{2017}} + 1} \right)}}{{2018.\left( {{{2018}^{2018}} + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{{{2018}^{2017}} + 1}}{{{{2018}^{2018}} + 1}} = B\)

Vậy \(A < B\)

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh tử với nhau: Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ta có:

\(\dfrac{{10}}{{11}} = \dfrac{{50}}{{55}}\) và \(\dfrac{{14}}{5} = \dfrac{{154}}{{55}}\). Vì \(\dfrac{{50}}{{55}} < \dfrac{{154}}{{55}}\) nên \(\dfrac{{10}}{{11}} < \dfrac{{14}}{5}\)

\(\dfrac{8}{{13}} = \dfrac{{16}}{{26}}\) và \(\dfrac{5}{2} = \dfrac{{65}}{{26}}\). Vì \(\dfrac{{16}}{{26}} < \dfrac{{65}}{{26}}\) nên \(\dfrac{8}{{13}} < \dfrac{5}{2}\)

\(\dfrac{7}{5} = \dfrac{{56}}{{40}}\) và \(\dfrac{7}{8} = \dfrac{{35}}{{40}}\). Vì \(\dfrac{{56}}{{40}} > \dfrac{{35}}{{40}}\) nên \(\dfrac{7}{5} > \dfrac{7}{8}\)

\(\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{{15}}\) và \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{{10}}{{15}}\). Vì \(\dfrac{3}{{15}} < \dfrac{{10}}{{15}}\) nên \(\dfrac{1}{5} < \dfrac{2}{3}\).

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

\(6 < 7 < 8\) nên \(\dfrac{6}{7} < \dfrac{7}{7} < \dfrac{8}{7}\)

\(9 < 13 < 18\) nên \(\dfrac{9}{{22}} < \dfrac{{13}}{{22}} < \dfrac{{18}}{{22}}\).

\(4 < 7 < 8\) nên \(\dfrac{4}{{15}} < \dfrac{7}{{15}} < \dfrac{8}{{15}}\)

\(4 < 5 < 7\) nên \(\dfrac{4}{{11}} < \dfrac{5}{{11}} < \dfrac{7}{{11}}\)

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ta có: \(1 = \dfrac{{19}}{{19}}\)

\(17 < 18 < 19\) nên \(\dfrac{{17}}{{19}} < \dfrac{{18}}{{19}} < \dfrac{{19}}{{19}}\) hay \(\dfrac{{17}}{{19}} < \dfrac{{18}}{{19}} < 1\)

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh tử với nhau: Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Chiều cao trung bình của các học sinh ở lớp 6A là: \(\dfrac{{525}}{{35}}\)

Chiều cao trung bình của các học sinh ở lớp 6B là: \(\dfrac{{456}}{{30}}\)

Ta có:

\(\dfrac{{525}}{{35}} = 15 = \dfrac{{75}}{5}\) và \(\dfrac{{456}}{{30}} = \dfrac{{76}}{5}\)

Vì \(\dfrac{{75}}{5} < \dfrac{{76}}{5}\) nên \(\dfrac{{525}}{{35}} < \dfrac{{456}}{{30}}\)

Vậy chiều cao trung bình của các học sinh lớp 6B lớn hơn lớp 6A.

So sánh các phân số với \(1;\,\,2\)

Quy đồng mẫu số để so sánh các phân số nhỏ hơn \(1\).

Ta có: các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là các phân số nhỏ hơn \(1\) là: \(\dfrac{1}{4};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2}\)

Quy đồng chung mẫu số các phân số này, ta được: \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{{12}}\);\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{12}}\); \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{{12}}\)

 Nhận thấy: \(\dfrac{3}{{12}} < \dfrac{6}{{12}} < \dfrac{8}{{12}}\) suy ra \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\)

Các phân số lớn hơn , nhỏ hơn là 

Phân số lớn hơn \(1\) nhỏ hơn \(2\) là: \(\dfrac{4}{3}\)

Phân số lớn hơn \(2\) là: \(\dfrac{5}{2}\)

Như vậy, sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần là:

\(\dfrac{5}{2} > \dfrac{4}{3} > \dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}\).

So sánh các phân số từ đó suy ra môn được yêu thích nhất.

Ta có:

\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{{14}}{{35}};\,\,\dfrac{4}{7} = \dfrac{{20}}{{35}}\)

\(\dfrac{9}{{35}} < \dfrac{{14}}{{35}} < \dfrac{{20}}{{35}}\)

\(\dfrac{9}{{35}} < \dfrac{2}{5} < \dfrac{4}{7}\)

Vậy môn bóng đá được các bạn lớp 6A yêu thích nhất.