Trắc nghiệm Các dạng toán về phép nhân và phép chia hết hai số nguyên (tiếp) Toán 6 Chân trời sáng tạo

- Tính và kiểm tra các đáp án, sử dụng quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu, khác dấu.

Đáp án A: \(\left( { - 19} \right).\left( { - 7} \right) > 0\) đúng vì tích hai số nguyên cùng dấu là một số nguyên dương.

Đáp án B: \(3.\left( { - 121} \right) < 0\) đúng vì tích hai số nguyên khác dấu là một số nguyên âm.

Đáp án C: \(45.\left( { - 11} \right) = - 495 > - 500\) nên C sai.

Đáp án D: \(46.\left( { - 11} \right) = - 506 < - 500\) nên D đúng.

Sử dụng kiến thức \(A.B < 0\) thì \(A\) và \(B\) trái dấu.

\(\left( {x - 7} \right)\left( {x + 5} \right) < 0\) nên \(x - 7\) và \(x + 5\) khác dấu.

Mà \(x + 5 > x - 7\) nên \(x + 5 > 0\) và \(x - 7 < 0\)

Suy ra \(x > - 5\) và \(x < 7\)

Do đó \(x \in \left\{ { - 4, - 3, - 2, - 1,0,1,2,3,4,5,6} \right\}\)

Vậy có \(11\) giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bài toán.

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:

Nếu $a,b,x \in Z$ và $a = b.x$ thì $a \vdots b$ và $a$ là một bội của $b;b$ là một ước của $a$

Ta có: \( - 8 = - 1.8 = 1.\left( { - 8} \right) = - 2.4 = 2.\left( { - 4} \right)\)

Tập hợp các ước của \( - 8\) là: \(A = \left\{ {1; - 1;2; - 2;4; - 4;8; - 8} \right\}\)

Để tìm tất cả các ước của một số nguyên âm ta chỉ cần tìm tất cả các ước của số đối của số nguyên âm đó. Trước tiên ta tìm ước tự nhiên rồi thêm các ước đối của chúng.

Có \(8\) ước tự nhiên của \(24\) là: \(1;2;3;4;6;8;12;24\)

Có \(8\) ước nguyên âm của \(24\) là: \(-1;-2;-3;-4;-6;-8;-12;-24\)

Vậy có \(8.2 = 16\) ước của \( 24\) nên cũng có $16$ ước của $-24.$

+ Bước 1: Tìm ước của \(9\) + Bước 2: Tìm $a$ và kết luận giá trị lớn nhất của \(a\)

$a + 4$ là ước của $9$ nên $\left( {a + 4} \right) \in Ư\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\;$ Ta có bảng giá trị như sau:

Vậy giá trị lớn nhất của \(a\) là \(a = 5\)

Sử dụng tính chất chia hết trong tập hợp các số nguyên $a \, \vdots \, m;b \, \vdots \, m \Rightarrow (a + b) \, \vdots \, m$

Ta có:

\(\left( { - 154 + x} \right) \, \vdots \, 3\)

\(\left( { - 153 - 1 + x} \right) \, \vdots \, 3\)

Suy ra \(\left( {x - 1} \right) \, \vdots \, 3\) (do \( - 153 \, \vdots \, 3\))

Do đó \(x - 1 = 3k \Rightarrow x = 3k + 1\)

Vậy \(x\) chia cho \(3\) dư \(1.\)

Bước 1: Phân tích $n + 5$ về dạng $a.\left( {n + 1} \right) + b{\rm{ }}\left( {a,b\; \in \;Z,a \ne 0} \right)$ Bước 2: Tìm $n$

$\left( {n{\rm{ }} + 5} \right) \vdots \left( {n{\rm{ }} + 1} \right)$$ \Rightarrow \left( {n + 1} \right) + 4 \, \vdots \, \left( {n{\rm{ }} + 1} \right)$

Vì \(n + 1 \, \vdots \, n + 1\) và \(n \in Z\) nên để \(n + 5 \, \vdots \, n + 1\) thì \(4 \, \vdots \, n + 1\)

Hay \(n + 1 \in Ư\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)

Ta có bảng:

Vậy \(n \in \left\{ { - 5; - 3; - 2;0;1;3} \right\}\)

\(10\) là bội của \(2a + 5\) nghĩa là \(2a + 5\) là ước của \(10\)

- Tìm các ước của \(10\)

- Lập bảng tìm \(a,\) đối chiếu điều kiện và kết luận.

Vì \(10\) là bội của \(2a + 5\) nên \(2a + 5\) là ước của \(10\)

\(U\left( {10} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10} \right\}\)

Ta có bảng:

Mà \(a < 5\) nên \(a \in \left\{ { - 3; - 2;0; - 5} \right\}\)

Vậy có \(4\) giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn bài toán.

- Tìm tập hợp các bội của \(6\)

- Tìm tập hợp các ước của \(24\)

- Lấy giao hai tập trên ta được đáp án.

Ta có:

\(A = B\left( 6 \right) = \left\{ {0; \pm 6; \pm 12; \pm 18; \pm 24;...} \right\}\)

\(B = Ư\left( {24} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \pm 12; \pm 24} \right\}\)

Vậy \(x \in A \cap B = \left\{ { \pm 6; \pm 12; \pm 24} \right\}\)

Sử dụng định nghĩa chia hết: \(a \, \vdots \, b\) nếu và chỉ nếu tồn tại số \(q \in Z\) sao cho \(a = b.q\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}a \, \vdots \, b \Rightarrow a = b.{q_1}\left( {{q_1} \in Z} \right)\\b \, \vdots \, a \Rightarrow b = a.{q_2}\left( {{q_2} \in Z} \right)\end{array}\)

Suy ra \(a = b.{q_1} = \left( {a.{q_2}} \right).{q_1} = a.\left( {{q_1}{q_2}} \right)\)

Vì \(a \ne 0\) nên \(a = a\left( {{q_1}{q_2}} \right) \Rightarrow 1 = {q_1}{q_2}\)

Mà \({q_1},{q_2} \in Z\) nên \({q_1} = {q_2} = 1\) hoặc \({q_1} = {q_2} = - 1\)

Do đó \(a = b\) hoặc \(a = - b\)

Biến đổi biểu thức \({n^2} - 7\) về dạng \(a.\left( {n + 3} \right) + b\) với \(b \in Z\) rồi suy ra \(n + 3\) là ước của \(b\)

Ta có:\({n^2} - 7 = {n^2} + 3n - 3n - 9 + 2\)\( = n\left( {n + 3} \right) - 3\left( {n + 3} \right) + 2\)\( = \left( {n - 3} \right)\left( {n + 3} \right) + 2\)

Vì \(n \in Z\) nên để \({n^2} - 7\) là bội của \(n + 3\) thì \(2\) là bội của \(n + 3\) hay \(n + 3\) là ước của \(2\)

\(Ư\left( 2 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\) nên \(n + 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\)

Ta có bảng:

Vậy \(n \in A = \left\{ { - 5; - 4; - 2; - 1} \right\}\)

Do đó tổng các phần tử của \(A\) là \(\left( { - 5} \right) + \left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = - 12\)

+ Biến đổi để tách \(5x + 46y\) thành tổng của hai số, trong đó một số chia hết cho $16$ và một số chứa nhân tử \(x + 6y\)

+ Sử dụng tính chất chia hết trên tập hợp các số nguyên để chứng minh.

Ta có:

\(\begin{array}{l}5x + 46y = 5x + 30y + 16y\\ = \left( {5x + 30y} \right) + 16y\\ = 5\left( {x + 6y} \right) + 16y\end{array}\)

Vì \(5x + 46y\) chia hết cho $16$ và $16y$ chia hết cho $16$ nên suy ra \(5\left( {x + 6y} \right)\) chia hết cho $16.$

Mà $5$ không chia hết cho $16$ nên suy ra \(x + 6y\) chia hết cho $16$

Vậy nếu \(5x + 46y\) chia hết cho $16$ thì \(x + 6y\) cũng chia hết cho $16.$

Áp dụng: \(b\) chia hết cho \(a\) và \(a\) chia hết cho \(b\) thì \(a\),\(b\) là hai số đối nhau (đã chứng minh từ bài tập trước), từ đó suy ra \(n\).

Vì \(\left( {n - 1} \right)\) là bội của \(\left( {n + 5} \right)\) và \(\left( {n + 5} \right)\) là bội của \(n - 1\),

Nên \(n - 1\) khác \(0\) và \(n + 5\) khác \(0\)

Nên \(n + 5,n - 1\) là hai số đối nhau

Do đó:

\((n + 5) + (n - 1) = 0\)

\(2n + 5 - 1 = 0\)

\(2n + 4 = 0\)

\(2n = -4\)

\(n=-2\)

Vậy có 1 số nguyên n thỏa mãn bài toán.

Cho \(a,b \in \mathbb{Z}\) và \(b \ne 0\). Nếu có số nguyên \(q\) sao cho \(a = bq\) thì:

Ta nói \(a\) chia hết cho \(b\), kí hiệu là \(a \vdots b\).

Ta có: \( - 18 = \left( { - 6} \right).3\) nên \( - 18\) chia hết cho \( - 6\) => C đúng

- Tính và kiểm tra các đáp án, sử dụng quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu, khác dấu.

Đáp án A: \(\left( { - 19} \right).\left( { - 7} \right) > 0\) đúng vì tích hai số nguyên cùng dấu là một số nguyên dương.

Đáp án B: \(3.\left( { - 121} \right) < 0\) đúng vì tích hai số nguyên khác dấu là một số nguyên âm.

Đáp án C: \(45.\left( { - 11} \right) = - 495 > - 500\) nên C sai.

Đáp án D: \(46.\left( { - 11} \right) = - 506 < - 500\) nên D đúng.

Sử dụng kiến thức \(A.B < 0\) thì \(A\) và \(B\) trái dấu.

\(\left( {x - 7} \right)\left( {x + 5} \right) < 0\) nên \(x - 7\) và \(x + 5\) khác dấu.

Mà \(x + 5 > x - 7\) nên \(x + 5 > 0\) và \(x - 7 < 0\)

Suy ra \(x > - 5\) và \(x < 7\)

Do đó \(x \in \left\{ { - 4, - 3, - 2, - 1,0,1,2,3,4,5,6} \right\}\)

Vậy có \(11\) giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bài toán.

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:

Nếu $a,b,x \in Z$ và $a = b.x$ thì $a \vdots b$ và $a$ là một bội của $b;b$ là một ước của $a$

Ta có: \( - 8 = - 1.8 = 1.\left( { - 8} \right) = - 2.4 = 2.\left( { - 4} \right)\)

Tập hợp các ước của \( - 8\) là: \(A = \left\{ {1; - 1;2; - 2;4; - 4;8; - 8} \right\}\)

Để tìm tất cả các ước của một số nguyên âm ta chỉ cần tìm tất cả các ước của số đối của số nguyên âm đó. Trước tiên ta tìm ước tự nhiên rồi thêm các ước đối của chúng.

Có \(8\) ước tự nhiên của \(24\) là: \(1;2;3;4;6;8;12;24\)

Có \(8\) ước nguyên âm của \(24\) là: \(-1;-2;-3;-4;-6;-8;-12;-24\)

Vậy có \(8.2 = 16\) ước của \( 24\) nên cũng có $16$ ước của $-24.$

+ Bước 1: Tìm ước của \(9\) + Bước 2: Tìm $a$ và kết luận giá trị lớn nhất của \(a\)

$a + 4$ là ước của $9$ nên $\left( {a + 4} \right) \in Ư\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\;$ Ta có bảng giá trị như sau:

Vậy giá trị lớn nhất của \(a\) là \(a = 5\)

Sử dụng tính chất chia hết trong tập hợp các số nguyên $a \, \vdots \, m;b \, \vdots \, m \Rightarrow (a + b) \, \vdots \, m$

Ta có:

\(\left( { - 154 + x} \right) \, \vdots \, 3\)

\(\left( { - 153 - 1 + x} \right) \, \vdots \, 3\)

Suy ra \(\left( {x - 1} \right) \, \vdots \, 3\) (do \( - 153 \, \vdots \, 3\))

Do đó \(x - 1 = 3k \Rightarrow x = 3k + 1\)

Vậy \(x\) chia cho \(3\) dư \(1.\)

Bước 1: Phân tích $n + 5$ về dạng $a.\left( {n + 1} \right) + b{\rm{ }}\left( {a,b\; \in \;Z,a \ne 0} \right)$ Bước 2: Tìm $n$

$\left( {n{\rm{ }} + 5} \right) \vdots \left( {n{\rm{ }} + 1} \right)$$ \Rightarrow \left( {n + 1} \right) + 4 \, \vdots \, \left( {n{\rm{ }} + 1} \right)$

Vì \(n + 1 \, \vdots \, n + 1\) và \(n \in Z\) nên để \(n + 5 \, \vdots \, n + 1\) thì \(4 \, \vdots \, n + 1\)

Hay \(n + 1 \in Ư\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)

Ta có bảng:

Vậy \(n \in \left\{ { - 5; - 3; - 2;0;1;3} \right\}\)

\(10\) là bội của \(2a + 5\) nghĩa là \(2a + 5\) là ước của \(10\)

- Tìm các ước của \(10\)

- Lập bảng tìm \(a,\) đối chiếu điều kiện và kết luận.

Vì \(10\) là bội của \(2a + 5\) nên \(2a + 5\) là ước của \(10\)

\(U\left( {10} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10} \right\}\)

Ta có bảng:

Mà \(a < 5\) nên \(a \in \left\{ { - 3; - 2;0; - 5} \right\}\)

Vậy có \(4\) giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn bài toán.

- Tìm tập hợp các bội của \(6\)

- Tìm tập hợp các ước của \(24\)

- Lấy giao hai tập trên ta được đáp án.

Ta có:

\(A = B\left( 6 \right) = \left\{ {0; \pm 6; \pm 12; \pm 18; \pm 24;...} \right\}\)

\(B = Ư\left( {24} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \pm 12; \pm 24} \right\}\)

Vậy \(x \in A \cap B = \left\{ { \pm 6; \pm 12; \pm 24} \right\}\)

Sử dụng định nghĩa chia hết: \(a \, \vdots \, b\) nếu và chỉ nếu tồn tại số \(q \in Z\) sao cho \(a = b.q\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}a \, \vdots \, b \Rightarrow a = b.{q_1}\left( {{q_1} \in Z} \right)\\b \, \vdots \, a \Rightarrow b = a.{q_2}\left( {{q_2} \in Z} \right)\end{array}\)

Suy ra \(a = b.{q_1} = \left( {a.{q_2}} \right).{q_1} = a.\left( {{q_1}{q_2}} \right)\)

Vì \(a \ne 0\) nên \(a = a\left( {{q_1}{q_2}} \right) \Rightarrow 1 = {q_1}{q_2}\)

Mà \({q_1},{q_2} \in Z\) nên \({q_1} = {q_2} = 1\) hoặc \({q_1} = {q_2} = - 1\)

Do đó \(a = b\) hoặc \(a = - b\)

Biến đổi biểu thức \({n^2} - 7\) về dạng \(a.\left( {n + 3} \right) + b\) với \(b \in Z\) rồi suy ra \(n + 3\) là ước của \(b\)

Ta có:\({n^2} - 7 = {n^2} + 3n - 3n - 9 + 2\)\( = n\left( {n + 3} \right) - 3\left( {n + 3} \right) + 2\)\( = \left( {n - 3} \right)\left( {n + 3} \right) + 2\)

Vì \(n \in Z\) nên để \({n^2} - 7\) là bội của \(n + 3\) thì \(2\) là bội của \(n + 3\) hay \(n + 3\) là ước của \(2\)

\(Ư\left( 2 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\) nên \(n + 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\)

Ta có bảng:

Vậy \(n \in A = \left\{ { - 5; - 4; - 2; - 1} \right\}\)

Do đó tổng các phần tử của \(A\) là \(\left( { - 5} \right) + \left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = - 12\)

+ Biến đổi để tách \(5x + 46y\) thành tổng của hai số, trong đó một số chia hết cho $16$ và một số chứa nhân tử \(x + 6y\)

+ Sử dụng tính chất chia hết trên tập hợp các số nguyên để chứng minh.

Ta có:

\(\begin{array}{l}5x + 46y = 5x + 30y + 16y\\ = \left( {5x + 30y} \right) + 16y\\ = 5\left( {x + 6y} \right) + 16y\end{array}\)

Vì \(5x + 46y\) chia hết cho $16$ và $16y$ chia hết cho $16$ nên suy ra \(5\left( {x + 6y} \right)\) chia hết cho $16.$

Mà $5$ không chia hết cho $16$ nên suy ra \(x + 6y\) chia hết cho $16$

Vậy nếu \(5x + 46y\) chia hết cho $16$ thì \(x + 6y\) cũng chia hết cho $16.$

Áp dụng: \(b\) chia hết cho \(a\) và \(a\) chia hết cho \(b\) thì \(a\),\(b\) là hai số đối nhau (đã chứng minh từ bài tập trước), từ đó suy ra \(n\).

Vì \(\left( {n - 1} \right)\) là bội của \(\left( {n + 5} \right)\) và \(\left( {n + 5} \right)\) là bội của \(n - 1\),

Nên \(n - 1\) khác \(0\) và \(n + 5\) khác \(0\)

Nên \(n + 5,n - 1\) là hai số đối nhau

Do đó:

\((n + 5) + (n - 1) = 0\)

\(2n + 5 - 1 = 0\)

\(2n + 4 = 0\)

\(2n = -4\)

\(n=-2\)

Vậy có 1 số nguyên n thỏa mãn bài toán.

Cho \(a,b \in \mathbb{Z}\) và \(b \ne 0\). Nếu có số nguyên \(q\) sao cho \(a = bq\) thì:

Ta nói \(a\) chia hết cho \(b\), kí hiệu là \(a \vdots b\).

Ta có: \( - 18 = \left( { - 6} \right).3\) nên \( - 18\) chia hết cho \( - 6\) => C đúng