Trắc nghiệm Các dạng toán về tính chất cơ bản của phân số Toán 6 Chân trời sáng tạo

Định nghĩa phân số tối giản:

Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà cả tử và mẫu chỉ có ước chung là $1$ và $ - 1.$

Do đó ta chỉ cần tìm \(ƯCLN\) của giá trị tuyệt đối của tử và mẫu phân số, nếu \(ƯCLN\) đó là \(1\) thì phân số đã cho tối giản.

Đáp án A: \(ƯCLN\left( {2;4} \right) = 2 \ne 1\) nên loại.

Đáp án B: \(ƯCLN\left( {15;96} \right) = 3 \ne 1\) nên loại.

Đáp án C: \(ƯCLN\left( {13;27} \right) = 1\) nên C đúng.

Đáp án D: \(ƯCLN\left( {29;58} \right) = 29 \ne 1\) nên D sai.

Lấy tử số và mẫu số của phân số sau lần lượt chia cho tử số và mẫu số của phân số trước, nếu ra cùng một số thì đó là đáp án, nếu ra hai số khác nhau thì ta kết luận không có số cần tìm hoặc hai phân số đã cho không bằng nhau.

Ta có: \(168:14 = 12\) và \(276:23 = 12\) nên số cần tìm là \(12\)

- Chia cả tử và mẫu của phân số $\dfrac{a}{b}$ cho ƯCLN của $\left| a \right|$ và $\left| b \right|$ để rút gọn phân số tối giản.

Ta có: \(ƯCLN\left( {600,800} \right) = 200\) nên:

\(\dfrac{{600}}{{800}} = \dfrac{{600:200}}{{800:200}} = \dfrac{3}{4}\)

Rút gọn mỗi phân số ở từng đáp án và kiểm tra xem có bằng phân số \(\dfrac{{ - 8}}{9}\) hay không rồi kết luận.

Đáp án A: \(\dfrac{{16}}{{ - 18}} = \dfrac{{ - 16}}{{18}} = \dfrac{{ - 16:2}}{{18:2}} = \dfrac{{ - 8}}{9}\) nên A đúng.

Đáp án B: \(\dfrac{{ - 72}}{{81}} = \dfrac{{ - 72:9}}{{81:9}} = \dfrac{{ - 8}}{9}\) nên B đúng.

Đáp án C: \(\dfrac{{ - 24}}{{ - 27}} = \dfrac{{24}}{{27}} = \dfrac{{24:3}}{{27:3}} = \dfrac{8}{9} \ne \dfrac{{ - 8}}{9}\) nên C sai.

Đáp án D: \(\dfrac{{ - 88}}{{99}} = \dfrac{{ - 88:11}}{{99:11}} = \dfrac{{ - 8}}{9}\) nên D đúng.

Tách các thừa số ở tử và mẫu thành tích các thừa số nhỏ hơn rồi chia cả tử và mẫu cho các thừa số chung.

Ta có:

\(\dfrac{{4.8}}{{64.\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{{4.8}}{{2.4.8.\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{1}{{2.\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{14}}\)

- Phân tích tử của \(A\) thành các nhân tử.

- Rút gọn biểu thức bằng cách chia cả tử và mẫu của \(A\) cho nhân tử chung.

Ta có:

\(A = \dfrac{{3.\left( { - 4} \right).60 - 60}}{{50.20}}\)\( = \dfrac{{\left[ {3.\left( { - 4} \right) - 1} \right].60}}{{50.20}}\)\( = \dfrac{{ - 13.60}}{{50.20}} = \dfrac{{ - 13.3}}{{50}} = \dfrac{{ - 39}}{{50}}\)

- Phân tích các thừa số trong tích ở cả tử và mẫu thành tích các thừa số nguyên tố.

- Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho từng lũy thừa chung ở tử và mẫu mà có số mũ nhỏ hơn.

\(\dfrac{{2.9.52}}{{22.\left( { - 72} \right)}} = \dfrac{{{{2.3}^2}{{.2}^2}.13}}{{2.11.\left( { - {2^3}{{.3}^2}} \right)}}\)\( = \dfrac{{{2^3}{{.3}^2}.13}}{{ - {2^4}{{.3}^2}.11}} = \dfrac{{13}}{{ - 2.11}} = \dfrac{{ - 13}}{{22}}\)

Dùng tính chất cơ bản của phân số: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}\,\,(n \in ƯC(a,b),\,n \ne 1,n \ne - 1)\).

\(\,\dfrac{{{5^{12}}{{.3}^9} - {5^{10}}{{.3}^{11}}}}{{{5^{10}}{{.3}^{10}}}} = \dfrac{{{5^{10}}{{.3}^9}.\left( {{5^2} - {3^2}} \right)}}{{{5^{10}}{{.3}^{10}}}} = \dfrac{{{5^{10}}{{.3}^9}.16}}{{{5^{10}}{{.3}^{10}}}} = \dfrac{{16}}{3}.\)

Vậy mẫu số của phân số đó là \(3\)

Dùng tính chất cơ bản của phân số: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}\,\,(n \in ƯC(a,b),\,n \ne 1,n \ne - 1)\).

\(\dfrac{{{5^{11}}{{.7}^{12}} + {5^{11}}{{.7}^{11}}}}{{{5^{12}}{{.7}^{12}} + {{9.5}^{11}}{{.7}^{11}}}} = \dfrac{{{5^{11}}{{.7}^{11}}(7 + 1)}}{{{5^{11}}{{.7}^{11}}(5.7 + 9)}} = \dfrac{8}{{44}} = \dfrac{2}{{11}}.\)

Do đó \(a = 2,b = 11\) nên \(a + b = 13\)

- Phân tích các thừa số ở cả tử và mẫu của biểu thức thành tích các thừa số nguyên tố.

- Chia cả tử và mẫu cho thừa số chung để rút gọn.

\(\dfrac{{{9^{14}}{{.25}^5}{{.8}^7}}}{{{{18}^{12}}{{.625}^3}{{.24}^3}}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^{14}}.{{\left( {{5^2}} \right)}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^7}}}{{{{\left( {{{2.3}^2}} \right)}^{12}}.{{\left( {{5^4}} \right)}^3}.{{\left( {{2^3}.3} \right)}^3}}}\)\( = \dfrac{{{3^{28}}{{.5}^{10}}{{.2}^{21}}}}{{{2^{12}}{{.3}^{24}}{{.5}^{12}}{{.2}^9}{{.3}^3}}}\)\( = \dfrac{{{2^{21}}{{.3}^{28}}{{.5}^{10}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{27}}{{.5}^{12}}}} = \dfrac{3}{{{5^2}}} = \dfrac{3}{{25}}\)

Quan sát \(A\) và \(B\) ta thấy tử số của biểu thức đều thiếu thành phần tích các số chẵn \(2.4.6.....2n\) nên ta có thể thử:

- Nhân cả tử và mẫu của \(A\) với \(2.4.6.....40\)

- Nhân cả tử và mẫu của \(B\) với \(2.4.6.....2n\)

Sau đó rút gọn các biểu thức ta được kết quả cần tìm.

+ Nhân cả tử và mẫu của \(A\) với \(2.4.6.....40\) ta được:

\(A = \dfrac{{\left( {1.3.....39} \right).\left( {2.4.....40} \right)}}{{\left( {2.4.6.....40} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}\)\( = \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.20} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}\)

\( = \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{{2^{20}}.\left( {1.2.3.....20.21.22.....40} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{{2^{20}}}}\)

+ Nhân cả tử và mẫu của \(B\) với \(2.4.6.....2n\) ta được:

\(B = \dfrac{{\left( {1.3.....\left( {2n - 1} \right)} \right).\left( {2.4.....2n} \right)}}{{\left( {2.4.6.....2n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}\)\( = \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}\)

\( = \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{{2^n}.\left( {1.2.3.....n.\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{{2^n}}}\)

Vậy \(A = \dfrac{1}{{{2^{20}}}},B = \dfrac{1}{{{2^n}}}\)

- Tìm dạng tổng quát của phân số đã cho có dạng \(\dfrac{{a.k}}{{b.k}}\left( {k \in Z,k \ne 0} \right)\) 

- Viết mối quan hệ của \(ak\) với \(bk\) dựa vào điều kiện bài cho rồi tìm \(k\)

Ta có: \(\dfrac{{200}}{{520}} = \dfrac{5}{{13}}\) nên có dạng tổng quát là \(\dfrac{{5k}}{{13k}}\left( {k \in Z,k \ne 0} \right)\)

Do tổng và tử và mẫu của phân số cần tìm bằng \(306\) nên:

\(\begin{array}{l}5k + 13k = 306\\18k = 306\\k = 306:18\\k = 17\end{array}\)

Vậy phân số cần tìm là \(\dfrac{{5.17}}{{13.17}} = \dfrac{{85}}{{221}}\)

- Rút gọn phân số đã cho đến tối giản, chẳng hạn được phân số tối giản $\dfrac{m}{n};$

- Dạng tổng quát của các phân số phải tìm là $\dfrac{{m.k}}{{n.k}}$ (\(k\) $ \in $ $\mathbb{Z}$, \(k \ne 0)\)

- Rút gọn phân số: \(\dfrac{{ - 12}}{{40}} = \dfrac{{ - 12:4}}{{40:4}} = \dfrac{{ - 3}}{{10}}\)

- Dạng tổng quát của phân số đã cho là: \(\dfrac{{ - 3k}}{{10k}}\) với \(k \in Z,k \ne 0\)

Dựa vào điều kiện của để bài, đưa về dạng 2 phân số bằng nhau để tính toán.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{a + 6}}{{b + 14}} = \dfrac{3}{7}\\7.(a + 6) = 3.(b + 14)\\7{\rm{a}} + 42 = 3b + 42\\7{\rm{a}} = 3b\\\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{7}\end{array}\)

Đưa các phân số về dạng \(\dfrac{a}{{a + (n + 2)}}\) rồi lập luận

Các phân số đã cho đều có dạng \(\dfrac{a}{{a + (n + 2)}}\)

Và tối giản nếu \(a\) và \(n + 2\) nguyên tố cùng nhau

Vì: \(\left[ {a + (n + 2)} \right] - a = n + 2\) với

\(a = 6;7;8;.....;34;35\)

Do đó \(n + 2\) nguyên tố cùng nhau với các số \(6;7;8;.....;34;35\)

Số tự nhiên \(n + 2\) nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này là \(37\)

Ta có \(n + 2 = 37\) nên \(n = 37 - 2 = 35\)

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là \(35\)

Ta có: \(\dfrac{{ - 12a}}{{24}} = \dfrac{{\left( { - 1} \right).12.a}}{{12.2}} = \dfrac{{\left( { - 1} \right).a}}{2} = \dfrac{{ - a}}{2}\).

Bước 1: Tìm mẫu số chung $\left( {MSC} \right)$ của ba phân số trên: Có thể chọn $MSC = BCNN\left( {16,12,20} \right)$Bước 2: Tìm thừa số phụ tương ứng bằng cách lấy $MSC$ chia mẫu số riêng của mỗi phân số Bước 3: Quy đồng mẫu bằng cách nhân cả tử số mà mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

Ta có: \(12 = {2^2}.3;16 = {2^4};20 = {2^2}.5\)

Do đó \(MSC = {2^4}.3.5 = 240\)

\(\dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{11.20}}{{12.20}} = \dfrac{{220}}{{240}};\)\(\dfrac{{15}}{{16}} = \dfrac{{15.15}}{{16.15}} = \dfrac{{225}}{{240}};\)\(\dfrac{{23}}{{20}} = \dfrac{{23.12}}{{20.12}} = \dfrac{{276}}{{240}}\)

Vậy các phân số sau khi quy đồng lần lượt là: \(\dfrac{{220}}{{240}};\dfrac{{225}}{{240}};\dfrac{{276}}{{240}}\)