Trắc nghiệm Các dạng toán về quan hệ chia hết và tính chất Toán 6 Kết nối tri thức

Sử dụng tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó. \(a\, \vdots \,m;\,b\, \vdots \,m;\,c\, \vdots \,m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots \,m\) 

Vì \(75\, \vdots \,3;\,120\, \vdots \,3\) nên để \(M = 75 + 120 + x\) chia hết cho \(3\) thì \(x\, \vdots \,3\) nên ta chọn \(x = 12.\)

Sử dụng tính chất 2: \(a \vdots m\) và \(b\not \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\not \vdots m\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m = 2.m \Rightarrow 2m \vdots 2\\3\not \vdots 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2m + 3\not \vdots 2\\\left. \begin{array}{l}2n \vdots 2\\1\not \vdots 2\end{array} \right\} \Rightarrow b = 2n + 1\not \vdots 2\end{array}\)

=> Đáp án A, B sai.

\(a + b = 2m + 3 + 2n + 1 = 2m + 2n + 4 = 2.\left( {m + n + 2} \right) \vdots 2\)

Đáp án C đúng.

Sử dụng tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó để suy ra điều kiện của \(x.\)

Ta thấy \(15 \, \vdots \, 5\) và \(1003\) không chia hết cho $5$ nên để \(A = 15 + 1003 + x\) chia hết cho \(5\) thì \(\left( {1003 + x} \right)\) chia hết cho \(5.\)

Mà \(1003\) chia \(5\) dư \(3\) nên để \(\left( {1003 + x} \right)\) chia hết cho \(5\) thì \(x\) chia \(5\) dư \(2.\)

Sử dụng tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó để suy ra điều kiện của \(x.\)

Ta có: \(A = \left( {12 + 15} \right) + 36 + x\) . Vì \(12 + 15 = 27\,\, \vdots \,\,9\) và \(36\,\, \vdots \,\,9 \)\(\Rightarrow \left( {12 + 15 + 36} \right) = \left( {27 + 36} \right)\,\, \vdots \,\,9\) nên để A không chia hết cho $9$ thì $x$ không chia hết cho $9.$

Nhân \(a + 4b\) với 10, biến đổi rồi chứng minh dựa vào TC1: Nếu số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Xét \(10.\left( {a + 4.b} \right) = 10.a + 40.b \)\(= \left( {10.a + b} \right) + 39.b\) .

Vì \(\left( {10.a + b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) và \(39b\,\, \vdots \,\,13\) nên \(10.\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) .

Do $10$ không chia hết cho $13$ nên suy ra \(\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) .

Vậy nếu \(10a + b\) chia hết cho $13$ thì \(a + 4b\) chia hết cho $13.$

TC1: Nếu số hạng của một hiệu đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Vì \(\left( {n + 2} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)\) nên theo tính chất 1 để \(\left( {n + 7} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)\) thì \(\left[ {\left( {n + 7} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right] \vdots \left( {n + 2} \right)\) hay \(5 \vdots \left( {n + 2} \right)\) .

Suy ra \(\left( {n + 2} \right) \in \left\{ {1;5} \right\}\) .

Vì \(n + 2 \ge 2\) nên \(n + 2 = 5 \Rightarrow n = 5 - 2 = 3.\)

Vậy \(n = 3.\)

Vậy có một số tự nhiên \(n\) thỏa mãn yêu cầu.

Sử dụng tính chất 1: “Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó” và tính chất 2: “Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó” để giải bài toán.

+) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \(n;n + 1;n + 2\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng ba số tự nhiên liên tiếp là \(n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3\). Vì \(3 \vdots 3\) nên \(\left( {3n + 3} \right) \vdots 3\) suy ra A đúng.

+) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là \(n;n + 1;n + 2;n + 3\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là \(n + n + 1 + n + 2 + n + 4 = 4n + 7\). Vì $4 \vdots 3;\,7\not \vdots \,4$ nên \(\left( {4n + 7} \right)\not \vdots 4\) suy ra B đúng, D sai.

+) Gọi năm số tự nhiên chẵn liên tiếp là \(2n;2n + 2;2n + 4;2n + 6;2n + 8\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng năm số tự nhiên chẵn liên tiếp là \(2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20\). Vì $10 \vdots 10;\,20 \vdots 10$ nên \(\left( {10n + 20} \right) \vdots 10\) suy ra C đúng.

Sử dụng tính chất 1: “Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó” và tính chất 2: “Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó” để giải bài toán.

Vì a chia cho 12 được số dư là 9 nên \(a = 12k + 9\left( {k \in N} \right)\)

Vì \(12k\, \vdots\, 3;9 \,\vdots \,3 \Rightarrow a = \left( {12k + 9} \right) \vdots\, 3\)

Và \(12k\, \vdots \,4;9\) không chia hết cho 4 nên \(a = 12k + 9\) không chia hết cho 4.

Vậy a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4.

Tổng C có 12 số hạng nên nhóm ba số hạng liền nhau , biến đổi để chứng minh dựa vào tính chất : \(a \, \vdots \, m \Rightarrow a.k \, \vdots \, m \, (k \in \mathbb{N})\)

Ghép ba số hạng liên tiếp thành một nhóm , ta được

\(C = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}\)\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right)... + \left( {{3^9} + {3^{10}} + {3^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^9}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right)\)

\( = 13.\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right) \, \vdots \, 13\) (do \(13 \, \vdots \, 13\))

Vậy \(C \, \vdots \, 13.\)

Tính chất 1: Nếu số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Ta có: \(49 \vdots 7;\,\,\,70 \vdots 7 \Rightarrow \left( {49 + 70} \right) \vdots 7\) (theo tính chất 1)

Sử dụng tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó. \(a\, \vdots \,m;\,b\, \vdots \,m;\,c\, \vdots \,m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots \,m\) 

Vì \(75\, \vdots \,3;\,120\, \vdots \,3\) nên để \(M = 75 + 120 + x\) chia hết cho \(3\) thì \(x\, \vdots \,3\) nên ta chọn \(x = 12.\)

Sử dụng tính chất 2: \(a \vdots m\) và \(b\not \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\not \vdots m\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m = 2.m \Rightarrow 2m \vdots 2\\3\not \vdots 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2m + 3\not \vdots 2\\\left. \begin{array}{l}2n \vdots 2\\1\not \vdots 2\end{array} \right\} \Rightarrow b = 2n + 1\not \vdots 2\end{array}\)

=> Đáp án A, B sai.

\(a + b = 2m + 3 + 2n + 1 = 2m + 2n + 4 = 2.\left( {m + n + 2} \right) \vdots 2\)

Đáp án C đúng.

Sử dụng tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó để suy ra điều kiện của \(x.\)

Ta thấy \(15 \, \vdots \, 5\) và \(1003\) không chia hết cho $5$ nên để \(A = 15 + 1003 + x\) chia hết cho \(5\) thì \(\left( {1003 + x} \right)\) chia hết cho \(5.\)

Mà \(1003\) chia \(5\) dư \(3\) nên để \(\left( {1003 + x} \right)\) chia hết cho \(5\) thì \(x\) chia \(5\) dư \(2.\)

Sử dụng tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó để suy ra điều kiện của \(x.\)

Ta có: \(A = \left( {12 + 15} \right) + 36 + x\) . Vì \(12 + 15 = 27\,\, \vdots \,\,9\) và \(36\,\, \vdots \,\,9 \)\(\Rightarrow \left( {12 + 15 + 36} \right) = \left( {27 + 36} \right)\,\, \vdots \,\,9\) nên để A không chia hết cho $9$ thì $x$ không chia hết cho $9.$

Nhân \(a + 4b\) với 10, biến đổi rồi chứng minh dựa vào TC1: Nếu số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Xét \(10.\left( {a + 4.b} \right) = 10.a + 40.b \)\(= \left( {10.a + b} \right) + 39.b\) .

Vì \(\left( {10.a + b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) và \(39b\,\, \vdots \,\,13\) nên \(10.\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) .

Do $10$ không chia hết cho $13$ nên suy ra \(\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) .

Vậy nếu \(10a + b\) chia hết cho $13$ thì \(a + 4b\) chia hết cho $13.$

TC1: Nếu số hạng của một hiệu đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Vì \(\left( {n + 2} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)\) nên theo tính chất 1 để \(\left( {n + 7} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)\) thì \(\left[ {\left( {n + 7} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right] \vdots \left( {n + 2} \right)\) hay \(5 \vdots \left( {n + 2} \right)\) .

Suy ra \(\left( {n + 2} \right) \in \left\{ {1;5} \right\}\) .

Vì \(n + 2 \ge 2\) nên \(n + 2 = 5 \Rightarrow n = 5 - 2 = 3.\)

Vậy \(n = 3.\)

Vậy có một số tự nhiên \(n\) thỏa mãn yêu cầu.

Sử dụng tính chất 1: “Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó” và tính chất 2: “Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó” để giải bài toán.

+) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \(n;n + 1;n + 2\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng ba số tự nhiên liên tiếp là \(n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3\). Vì \(3 \vdots 3\) nên \(\left( {3n + 3} \right) \vdots 3\) suy ra A đúng.

+) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là \(n;n + 1;n + 2;n + 3\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là \(n + n + 1 + n + 2 + n + 4 = 4n + 7\). Vì $4 \vdots 3;\,7\not \vdots \,4$ nên \(\left( {4n + 7} \right)\not \vdots 4\) suy ra B đúng, D sai.

+) Gọi năm số tự nhiên chẵn liên tiếp là \(2n;2n + 2;2n + 4;2n + 6;2n + 8\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng năm số tự nhiên chẵn liên tiếp là \(2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20\). Vì $10 \vdots 10;\,20 \vdots 10$ nên \(\left( {10n + 20} \right) \vdots 10\) suy ra C đúng.

Sử dụng tính chất 1: “Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó” và tính chất 2: “Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó” để giải bài toán.

Vì a chia cho 12 được số dư là 9 nên \(a = 12k + 9\left( {k \in N} \right)\)

Vì \(12k\, \vdots\, 3;9 \,\vdots \,3 \Rightarrow a = \left( {12k + 9} \right) \vdots\, 3\)

Và \(12k\, \vdots \,4;9\) không chia hết cho 4 nên \(a = 12k + 9\) không chia hết cho 4.

Vậy a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4.

Tổng C có 12 số hạng nên nhóm ba số hạng liền nhau , biến đổi để chứng minh dựa vào tính chất : \(a \, \vdots \, m \Rightarrow a.k \, \vdots \, m \, (k \in \mathbb{N})\)

Ghép ba số hạng liên tiếp thành một nhóm , ta được

\(C = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}\)\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right)... + \left( {{3^9} + {3^{10}} + {3^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^9}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right)\)

\( = 13.\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right) \, \vdots \, 13\) (do \(13 \, \vdots \, 13\))

Vậy \(C \, \vdots \, 13.\)

Tính chất 1: Nếu số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Ta có: \(49 \vdots 7;\,\,\,70 \vdots 7 \Rightarrow \left( {49 + 70} \right) \vdots 7\) (theo tính chất 1)