Phương pháp tính ngược từ cuối là một kỹ năng quan trọng trong toán học, đặc biệt là đối với học sinh lớp 5 khi làm quen với các bài toán nâng cao. Phương pháp này giúp học sinh tiếp cận và giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, bài tập thực hành đa dạng và các ví dụ minh họa cụ thể để giúp học sinh nắm vững phương pháp tính ngược từ cuối và áp dụng thành công vào giải các bài toán toán nâng cao lớp 5.
An, Bình, Chi sưu tầm được 108 con tem. Nếu An cho Bình 10 con tem, Bình cho Chi 8 con tem, Một người đi bán trứng. Lần thứ nhất bán được 1/4 tổng số trứng. Một người bán khoai cho 3 người: Người thứ nhất mua 1/4 số khoai và 10 kg.
Ví dụ 1:
Một người đem bán gạo lần thứ nhất người đó bán được $\frac{1}{3}$số gạo mang đi. Lần thứ hai bán được $\frac{3}{5}$ số gạo còn lại. Cuối cùng bán nốt 24 kg là vừa hết. Hỏi:
a, Người đó mang đi bao nhiêu kg gạo.
b, Hỏi 2 lần đầu, mỗi lần người đó bán bao nhiêu kg gạo.
Giải
a) Số gạo bán lần cuối cùng là 24 kg ứng với:
$1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ (số gạo còn lại sau lần bán thứ nhất)
Số gạo còn lại sau lần thứ nhất là
$24:\frac{2}{5} = 60$ (kg)
Số gạo 60 kg này ứng với:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (số gạo ban đầu)
Số gạo ban đầu là
$60:\frac{2}{3} = 90$ (kg)
b) Lần đầu người đó bán được số kg gạo là
$\frac{1}{3} \times 90 = 30$ (kg)
Lần thứ hai người đó bán được số kg gạo là
$\frac{3}{5} \times (90 - 30) = 36$ (kg)
Đáp số: a) 90 kg
b) Lần thứ nhất: 30 kg, lần thứ hai 36 kg
Ví dụ 2: An, Bình, Chi sưu tầm được 108 con tem. Nếu An cho Bình 10 con tem, Bình cho Chi 8 con tem, Chi lại cho An 6 con tem thì lúc đó số tem của 3 bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu con tem.
Giải
Sau khi cho nhau, mỗi bạn có:
108 : 3 = 36 (con tem)
Số tem lúc đầu của An là
36 + 10 – 6 = 40 (con tem)
Số tem lúc đầu của Bình là
36 – 10 + 8 = 34 (con tem)
Số tem lúc đầu của Chi là
36 – 8 + 6 = 34 (con tem)
Đáp số: An: 40 con tem
Bình: 34 con tem
Chi: 34 con tem
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Một người đi bán trứng. Lần thứ nhất bán được $\frac{1}{4}$tổng số trứng. Lần thứ hai bán được $\frac{2}{5}$số trứng còn lại. Lần thứ ba bán $\frac{4}{7}$ số trứng còn lại. Cuối cùng còn 27 quả. Hỏi số trứng người đó mang đi bán là bao nhiêu quả?
Một người bán cam, lần thứ nhất người đó bán $\frac{1}{2}$ số cam và 1 quả. Lần thứ hai người đó bán $\frac{1}{2}$ số cam còn lại và 1 quả. Lần thứ ba người đó bán $\frac{1}{2}$ số cam còn lại và 1 quả. Cuối cùng còn lại 10 quả. Hỏi số cam lúc đầu có bao nhiêu quả.
Một người bán khoai cho 3 người: Người thứ nhất mua $\frac{1}{4}$ số khoai và 10 kg. Người thứ hai mua $\frac{5}{{11}}$ số khoai còn lại và 10 kg. Người thứ ba mua 50 kg thì vừa hết. Hỏi số lượng khoai đã bán là bao nhiêu ki-lô-gam?
Mẹ cho hai anh em một số tiền để mua vở. Nếu anh cho em một số tiền đúng bằng số tiền của em được mẹ cho. Rồi em lại cho anh số tiền đúng bằng số tiền còn lại của anh thì lúc đó anh có 30000 đồng và em có 35000 đồng. Hỏi mẹ cho mỗi người bao nhiêu tiền.
Kiên, Hòa, Bình có tất cả 24 quyển vở. Nếu Kiên cho Hòa một số vở bằng số vở Hòa hiện có rồi Hòa lại cho Bình số vở bằng số vở Bình hiện có. Sau đó Bình lại cho Kiên số vở bằng số vở Kiên hiện có thì lúc đó 3 bạn có số vở bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?
Có 3 bình đựng nước nhưng chưa đầy. Lần thứ nhất người ta đổ nước từ bình 1 sang hai bình kia một số nước bằng số nước hiện có của mỗi bình. Lần thứ hai người ta đổ từ bình 2 sang hai bình kia một số nước bằng số nước hiện có của mỗi bình. Lần thứ ba người ta đổ từ bình 3 sang hai bình kia một số nước bằng số nước hiện có của mỗi bình. Cuối cùng mỗi bình đều có 24 lít nước. Hỏi lúc đầu mỗi bình chưa bao nhiêu lít nước.
Có hai can đựng dầu hoả. Chuyển từ can thứ nhất sang can thứ hai số dầu bằng 4 lần số dầu có trong can thứ hai, rồi lại chuyển từ can thứ hai về can thứ nhất số dầu bằng số dầu còn lại trong can thứ nhất thì mỗi can đều chứa 20 lít dầu. Hỏi lúc đầu mỗi can chứa bao nhiêu lít dầu?
Một học sinh đọc 1 quyển truyện trong 3 ngày. Ngày đầu em đọc được $\frac{1}{5}$ số trang và 16 trang. Ngày thứ hai đọc được $\frac{3}{{10}}$ số trang còn lại và 20 trang. Ngày thứ ba em đọc được $\frac{3}{4}$ số trang còn lại và 30 trang cuối cùng. Hỏi quyển truyện đó có bao nhiêu trang.
Mẹ Ngọc đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất bán một nửa số trứng cộng thêm 1 quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm 2 quả. Lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại sau hai lần bán cộng thêm 3 quả thì vừa hết số trứng. Hỏi mẹ Ngọc đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng.
Một người đem một đàn vịt đi bán. Lần thứ nhất bán kém 3 con thì đủ $\frac{1}{4}$ đàn vịt. Lần thứ hai bán $\frac{1}{3}$ số vịt còn lại và 5 con. Lần thứ ba bán kém 4 con thì đủ $\frac{7}{9}$số vịt còn lại sau hai lần bán. Sau ba lần bán người đó còn lại 10 con. Hỏi đàn vịt có bao nhiêu con?
Lớp 5A tham gia học may. Ngày thứ nhất có $\frac{1}{6}$số học sinh của lớp và 2 em tham gia. Ngày thứ hai có $\frac{1}{4}$số còn lại và 1 em tham gia. Ngày thứ ba có $\frac{2}{5}$số còn lại sau 2 ngày và 3 em tham gia. Ngày thứ tư có $\frac{1}{3}$số còn lại và 1 em tham gia. Cuối cùng còn lại 5 em chưa tham gia. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh?
Một người bán dưa. Lần thứ nhất bán $\frac{1}{2}$số dưa cộng $\frac{1}{2}$quả. Lần thứ hai bán $\frac{1}{2}$ số dưa còn lại cộng $\frac{1}{2}$quả. Lần thứ ba, lần thứ tư, lần thứ năm đều bán như vậy, bán đến lần thứ sáu thì hết số dưa. Hỏi người đó bán tất cả bao nhiêu quả dưa?
An, Bình, Chi, Dũng mỗi người có một số nhãn vở khác nhau. An cho 3 bạn mỗi bạn một số nhãn vở bằng số nhãn vở mỗi bạn hiện có. Sau đó Bình lại cho 3 bạn mỗi bạn một số nhãn vở bằng số nhãn vở mỗi bạn hiện có rồi sau đó Chi, Dũng cũng như vậy. Cuối cùng mỗi bạn có 16 nhãn vở. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở.
Có 3 thùng gạo, lấy $\frac{1}{3}$ số gạo ở thùng A đổ vào thùng B, rồi đổ $\frac{1}{4}$ số gạo hiện có ở thùng B vào thùng C. Sau đó, đổ $\frac{1}{{10}}$ số gạo có tất cả ở thùng C vào thùng A thì lúc ấy số gạo ở mỗi thùng đều bằng 18 kg. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
(AMS 2012 – 2013). Cho 3 số có tổng là 2052. Biết số thứ nhất bằng $\frac{3}{4}$ số thứ hai, số thứ hai bằng $\frac{1}{3}$ số thứ ba. Tìm mỗi số.
(LTV 2014 – 2015). Bạn Liên đọc một cuốn sách trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bạn đọc được $\frac{2}{5}$ số trang. Ngày thứ hai bạn đọc được $\frac{2}{3}$số trang sách còn lại. Ngày thứ ba bạn đọc 60 trang thì đọc xong cuốn sách. Hỏi cuốn sách bạn Liên đọc có bao nhiêu trang?
(ASM 2010 – 2011). Bốn người góp tiền mua 1 chiếc ti vi. Người thứ nhất góp số tiền bằng $\frac{1}{2}$ số tiền của ba người kia. Người thứ hai góp $\frac{1}{3}$ số tiền của ba người còn lại. Người thứ ba góp $\frac{1}{4}$ số tiền của ba người kia. Hỏi chiếc ti vi đó giá bao nhiêu tiền biết rằng người thứ tư đã góp 2 600 000 đồng.
(NTT 2018 – 2019). Trong số học sinh tham gia dự án chăm sóc hoa, cây cảnh ở khuôn viên trường Nguyễn Tất Thành, số học sinh lớp 9 chiếm $\frac{2}{5}$, số học sinh lớp 8 chiếm $\frac{1}{3}$, còn lại là số học sinh lớp 7 và lớp 6. Biết rằng tổng số học sinh lớp 6, 7, 8 tham gia là 126, số học sinh lớp 6 tham gia bằng $\frac{3}{4}$ số học sinh lớp 7. Hãy tìm số học sinh lớp 6 đã tham gia dự án.
Phương pháp tính ngược từ cuối là một chiến lược giải toán hiệu quả, đặc biệt hữu ích trong các bài toán liên quan đến việc tìm giá trị ban đầu dựa trên kết quả cuối cùng và các phép toán đã thực hiện. Dạng toán này thường xuất hiện trong các đề thi toán nâng cao lớp 5, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.
Phương pháp tính ngược từ cuối (hay còn gọi là giải ngược) là quá trình bắt đầu từ kết quả cuối cùng của bài toán và thực hiện các phép toán ngược lại (phép trừ, phép chia) để tìm ra giá trị ban đầu. Điều này trái ngược với cách giải thông thường là bắt đầu từ dữ kiện ban đầu và thực hiện các phép toán theo thứ tự để tìm ra kết quả cuối cùng.
Phương pháp này đặc biệt hiệu quả trong các trường hợp sau:
Ví dụ 1: Một số bị trừ đi 15, sau đó chia cho 3 được kết quả là 10. Tìm số bị trừ.
Giải:
Ví dụ 2: Lan có một số kẹo. Lan cho Bình 5 cái, sau đó lại cho Cúc số kẹo bằng số kẹo còn lại của Lan. Cuối cùng Lan còn lại 3 cái kẹo. Hỏi lúc đầu Lan có bao nhiêu cái kẹo?
Giải:
Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập phương pháp tính ngược từ cuối:
Để giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối một cách hiệu quả, bạn nên:
Phương pháp tính ngược từ cuối là một công cụ hữu ích giúp học sinh giải quyết các bài toán toán nâng cao lớp 5 một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững phương pháp này và áp dụng thành công vào giải các bài toán thực tế.
