Đây là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán nâng cao lớp 5, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán phân số một cách linh hoạt và sáng tạo. Các bài toán thuộc dạng này thường yêu cầu học sinh phải vận dụng kiến thức về phân số, phép cộng, phép trừ và tư duy logic để tìm ra lời giải chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp các bài tập có lời giải chi tiết, phương pháp giải dễ hiểu, giúp học sinh tự tin chinh phục dạng toán này.
Cho phân số 56/81. Hỏi cùng thêm vào tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số bằng 3/4. Cho phân số 23/45 Hỏi phải cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số mới có giá trị bằng 19/15
Phương pháp giải - Nếu ta cộng thêm(hoặc trừ đi) cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi. - Nếu cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đi ở mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi. - Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi. |
Ví dụ 1: Cho phân số . Hỏi cùng thêm vào tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số bằng $\frac{3}{4}$ ?
Giải
Hiệu của mẫu số và tử số của phân số đã cho là 81 – 56 = 25
Khi ta thêm vào tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn không đổi.
Tử số của phân số mới là 25 : (4 – 3) x 3 = 75
Số cần tìm là: 75 – 56 = 19
Đáp số: 19
Ví dụ 2: Cho phân số $\frac{{23}}{{45}}$. Hỏi phải cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số mới có giá trị bằng$\frac{{19}}{{15}}$ ?
Giải
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là 23 + 45 = 68
Khi ta cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên thì tổng của mẫu số và tử số vẫn không đổi và bằng 68.
Gọi số cần tìm là a. Ta có
$\frac{{23 + a}}{{45 - a}} = \frac{{19}}{{15}}$
Tổng số phần bằng nhau: 19 + 15 = 34 (phần)
Tử số của phân số mới là: 68 : 34 x 19 = 38
Ta có 23 + a = 38
Vậy a = 38 – 23 = 15
Đáp số: 15
Ví dụ 3: Cho phân số $\frac{{26}}{{45}}$. Hãy tìm số tự nhiên c sao cho đem mẫu số của phân số đã cho trừ đi c và giữ nguyên tử số ta được phân số mới có giá trị bằng $\frac{5}{6}$.
Giải:
Vì tử số giữ nguyên nên ta có:
$\frac{{25}}{{37 - c}} = \frac{5}{6} = \frac{{25}}{{30}}$
Hai phân số bằng nhau lại có tử số bằng nhau nên mẫu số của chúng cũng phải bằng nhau.
Tức là 37 – c = 30. Vậy c = 7.
Đáp số: c = 7
Ví dụ 4: Cho phân số $\frac{{26}}{{45}}$. Hãy tìm số tự nhiên c sao cho thêm c vào tử số và giữ nguyên mẫu số, ta được phân số mới có giá trị bằng $\frac{2}{3}$.
Giải:
Theo đề bài, ta có:
$\frac{{26 + c}}{{45}} = \frac{2}{3}$ hay $\frac{{26}}{{45}} + \frac{c}{{45}} = \frac{2}{3}$
Từ đó ta có: $\frac{c}{{45}} = \frac{2}{3} - \frac{{26}}{{45}} = \frac{4}{{45}}$
Vậy c = 4
Đáp số: c = 4
Bài tập áp dụng
Cho phân số $\frac{3}{7}$. Cộng thêm vào cả tử số và mẫu số cùa phân số đó với cùng một số tự nhiên ta được một phân số bằng $\frac{7}{9}$. Tìm số tự nhiên đó.
Khi bớt cả tử số và mẫu số của phân số $\frac{{71}}{{41}}$ đi cùng một số tự nhiên ta nhận được một phân số bằng $\frac{5}{2}$. Tìm số tự nhiên đó.
Cho phân số $\frac{7}{8}$. Hãy tìm số a sao cho đem tử số của phân số đã cho trừ đi a và thêm a vào mẫu số ta được một phân số mới bằng $\frac{1}{4}$.
Cho phân số $\frac{a}{b}$. Rút gọn phân số $\frac{a}{b}$ ta được phân số $\frac{2}{5}$. Nếu thêm vào tử số 45 đơn vị thì ta được phân số mới có giá trị bằng $\frac{{13}}{{20}}$. Tìm phân số $\frac{a}{b}$.
Cho phân số $\frac{{73}}{{97}}$. Hỏi cùng phải bớt ở tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số mới có giá trị bằng $\frac{2}{3}$?
Dạng toán này thường xuất hiện trong các đề thi toán nâng cao lớp 5, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức về phân số mà còn phải có khả năng phân tích đề bài và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Việc hiểu rõ bản chất của các phép toán trên phân số là yếu tố then chốt để giải quyết các bài toán thuộc dạng này.
Trước khi đi vào giải các bài toán cụ thể, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Dạng toán này có nhiều biến thể khác nhau, nhưng thường gặp các dạng sau:
Để giải các bài toán thuộc dạng này, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ 1: Tìm một phân số có tổng của tử số và mẫu số là 20 và tử số kém mẫu số là 4.
Giải:
Gọi tử số là x, mẫu số là y. Ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình, ta được x = 8 và y = 12. Vậy phân số cần tìm là 8/12.
Ví dụ 2: Nếu thêm 3 vào cả tử số và mẫu số của một phân số, ta được phân số mới bằng 5/7. Tìm phân số ban đầu.
Giải:
Gọi phân số ban đầu là x/y. Ta có:
(x + 3) / (y + 3) = 5/7
Suy ra 7(x + 3) = 5(y + 3)
7x + 21 = 5y + 15
7x - 5y = -6
Để tìm x và y, cần thêm một phương trình nữa. Tuy nhiên, bài toán không cung cấp thêm thông tin. Do đó, có vô số phân số thỏa mãn điều kiện này. Ví dụ: x = 1, y = 11/5 (không phải số nguyên). x = 4, y = 14/5 (không phải số nguyên). x = 9, y = 33/5 (không phải số nguyên). Cần kiểm tra lại đề bài hoặc có thêm thông tin để giải quyết bài toán này.
Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài toán thuộc dạng này, học sinh nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. giaibaitoan.com cung cấp một kho bài tập phong phú, đa dạng, giúp học sinh rèn luyện và nâng cao khả năng giải toán.
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải trên, các em học sinh sẽ tự tin chinh phục dạng toán Dạng 2: Các bài toán về thêm, bớt ở tử số và mẫu số - Toán nâng cao lớp 5.
