Dạng 4: Tính tổng dãy số cách đều Toán nâng cao lớp 5

Dạng 4: Tính Tổng Dãy Số Cách Đều Toán Nâng Cao Lớp 5

Dãy số cách đều là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là ở chương trình nâng cao lớp 5. Hiểu rõ về dãy số cách đều và cách tính tổng của chúng là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, công thức và các dạng bài tập thường gặp liên quan đến chủ đề này.

1. Khái Niệm Dãy Số Cách Đều

Một dãy số được gọi là dãy số cách đều khi hiệu giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai (d). Ví dụ:

• Dãy số 2, 5, 8, 11, 14 là một dãy số cách đều với công sai d = 3.
• Dãy số 10, 7, 4, 1, -2 là một dãy số cách đều với công sai d = -3.

2. Công Thức Tính Tổng Dãy Số Cách Đều

Tổng của một dãy số cách đều có n số hạng, số hạng đầu là u₁ và số hạng cuối là u_n được tính theo công thức:

S_n = (n * (u₁ + u_n)) / 2

Trong đó:

• S_n là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy.
• n là số lượng số hạng trong dãy.
• u₁ là số hạng đầu tiên của dãy.
• u_n là số hạng cuối cùng của dãy.

3. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

1. Dạng 1: Tính tổng dãy số khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và số lượng số hạng.

Ví dụ: Tính tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13.

Giải:

• Số hạng đầu: u₁ = 1
• Số hạng cuối: u_n = 13
• Số lượng số hạng: n = 5
• Tổng: S₅ = (5 * (1 + 13)) / 2 = 35
2. Dạng 2: Tính tổng dãy số khi biết số hạng đầu, công sai và số lượng số hạng.

Ví dụ: Tính tổng của dãy số 2, 6, 10, 14, 18.

Giải:

• Số hạng đầu: u₁ = 2
• Công sai: d = 4
• Số lượng số hạng: n = 5
• Số hạng cuối: u₅ = u₁ + (n - 1) * d = 2 + (5 - 1) * 4 = 18
• Tổng: S₅ = (5 * (2 + 18)) / 2 = 50
3. Dạng 3: Tìm số lượng số hạng hoặc số hạng cuối khi biết tổng, số hạng đầu và công sai.

Ví dụ: Tổng của một dãy số cách đều là 40, số hạng đầu là 1 và công sai là 3. Tìm số lượng số hạng của dãy.

Giải:

S_n = (n * (u₁ + u_n)) / 2

u_n = u₁ + (n - 1) * d = 1 + (n - 1) * 3 = 3n - 2

40 = (n * (1 + 3n - 2)) / 2

80 = n * (3n - 1)

3n² - n - 80 = 0

(Giải phương trình bậc hai để tìm n)

4. Mẹo Giải Bài Tập

• Xác định rõ các yếu tố của dãy số: số hạng đầu, số hạng cuối, công sai, số lượng số hạng.
• Sử dụng công thức tính tổng dãy số cách đều một cách chính xác.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính hợp lý.

5. Bài Tập Thực Hành

Dưới đây là một số bài tập để các em luyện tập:

1. Tính tổng của dãy số 3, 7, 11, 15, 19.
2. Tính tổng của dãy số 10, 5, 0, -5, -10.
3. Một dãy số cách đều có số hạng đầu là 2, công sai là 5 và tổng là 65. Tìm số lượng số hạng của dãy.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về dạng toán tính tổng dãy số cách đều. Chúc các em học tốt!