Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 1 trang 29 trong Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những chuyên đề mới. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và dễ tiếp thu nhất.
Cho \({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\) và \({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Cho \({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\) và \({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
a) So sánh \({S_1}\) và \({T_1}\); \({S_2}\) và \({T_2}\);\({S_3}\) và \({T_3}\).
b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \({S_1} = 1 + 2 = 3\); \({T_1} = {2^{1 + 1}} - 1 = 3\)
Do đó \({S_1} = {T_1}\)
\({S_2} = 1 + 2 + {2^2} = 7\); \({T_2} = {2^{2 + 1}} - 1 = 7\)
Do đó \({S_2} = {T_2}\)
\({S_3} = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} = 15\); \({T_3} = {2^{3 + 1}} - 1 = 15\)
Do đó \({S_3} = {T_3}\)
b) Dự doán: \({S_n} = {T_n}\) từ đó có công thức tính \({S_n} = {2^{n + 1}} - 1\)
Chứng minh:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = {T_1} = {2^2} - 1\) đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({S_{k + 1}} = {2^{(k + 1) + 1}} - 1\) hay \({S_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 1\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({S_k} = {2^{k + 1}} - 1\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{k + 1}} = {S_k} + {2^{k + 1}}\\ = {2^{k + 1}} - 1 + {2^{k + 1}} = {2.2^{k + 1}} - 1 = {2^{k + 2}} - 1\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các ứng dụng của tập hợp trong thực tế. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất và các quy tắc đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài 1 trang 29 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 1 trang 29, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập. Lưu ý rằng, lời giải này chỉ mang tính chất tham khảo, bạn nên tự mình suy nghĩ và giải bài tập trước khi xem lời giải để có thể hiểu bài một cách sâu sắc nhất.
Ví dụ: Cho tập hợp A = {x | x là số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10}. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
Lời giải: Tập hợp A bao gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, tức là A = {0, 2, 4, 6, 8}.
Ví dụ: Cho tập hợp B = {1, 2, 3} và tập hợp C = {2, 3, 4}. Hãy xác định xem tập hợp B có phải là tập con của tập hợp C hay không.
Lời giải: Tập hợp B không phải là tập con của tập hợp C, vì không phải mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp C (phần tử 1 không thuộc tập hợp C).
Ví dụ: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh thích môn Toán, 10 học sinh thích môn Văn, và 5 học sinh thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn Toán và không thích môn Văn?
Lời giải: Gọi T là tập hợp các học sinh thích môn Toán, V là tập hợp các học sinh thích môn Văn. Ta có |T| = 15, |V| = 10, |T ∩ V| = 5. Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn là |T ∪ V| = |T| + |V| - |T ∩ V| = 15 + 10 - 5 = 20. Vậy số học sinh không thích môn Toán và không thích môn Văn là 30 - 20 = 10.
Để học tập và ôn luyện kiến thức về tập hợp, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập mà chúng tôi đã trình bày, bạn sẽ có thể tự tin giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
